Общее дифференциальное уравнение устойчивости стержня и краевые условия.
Рассмотрим более общий случай, когда на стержень действуют осевая сила N, приложенная на конце стержня, распределенная осевая нагрузка
(рис. 12.34) и поперечные нагрузки Р. Изгибающий момент в сечении z
где
— изгибающий момент от поперечной нагрузки. Подставляем (179) в уравнение (163):
Дифференцируя это равенство по z, получаем
где
— перерезывающая сила от поперечных нагрузок.
Рис. 12.34. Определение изгибающего момента в сечении стержня
Повторяя операцию дифференцирования, находим
Предполагается, что поперечная распределенная пагрузка
отсутствует. Уравнение (182) представляет общее дифференциальное уравнение устойчивости стержня.
Рис. 12.35. Краевые условия в задачах устойчивости стержней: а — расчетная схема; б — условная перерезывающая сила
Рассмотрим краевые условия для уравнения устойчивости на примере консольного стержня. При
стержень имеет заделку, и потому
На конце
изгибающий момент отсутствует:
Для перерезывающей силы из уравнения (181) получаем при
Условная перерезывающая сила на конце стержня появляется за счет проекции усилия N (рис. 12.35).
Отметим, что уравнение (182) является дифференциальным уравнением четвертого порядка, и для его однозначного решения должны быть указаны четыре краевых условия (обычно по два при
).
Замечания. 1. Напомним правило дифференцирования определенного интеграла по параметру:
Это правило легко установить, рассматривая приращение
Соотношение (184) применялось при дифференцировании уравнения (180).
2. Следует обратить внимание, что при выводе краевого условия (183) направление усилия N оставалось неизменным. Если усилие N считать направленным по касательной к оси стержня («следящая» нагрузка), то решение задачи усложняется.