Напряжения растяжения и изгиба в стержне от действия внешних сил.

Предположим, что температура тела во время работы не изменяется. Тогда, полагая в соотношении получим

Учитывая равенства найдем общую формулу для нормальных напряжений в стержне при действии внешних силовых факторов;

или

где — жесткость при растяжении; жесткости при изгибе.

Для стержня с постоянным модулем упругости (основной расчетный случай)

где — площадь поперечного сечения;

— моменты инерции сечения относительно осей х и у соответственно.

Первый член в правой части равенства (18) выражает напряжения от растяжения или сжатия, два последующих члена — напряжения изгиба.

Замечания. 1. Формула (18) является одной из основных во всем сопротивления материалов. Она показывает, что для анализа напряжений за начало координат надо принять центр тяжести сечения и к этой точке сечения (точнее, к системе координат) привести внешние силы. Нормальное усилие, действующее в центре тяжести, вызывает напряжения растяжения или сжатия, одинаковые во всех точках сечения.

Напряжения изгиба зависят от величины изгибающих моментов, геометрических характеристик сечения (моментов инерции) и координат точки.

2. Нормальные напряжения от внешних силовых факторов не зависят от абсолютной величины модуля упругости материала, а только от его распределения в точках сечения. Из равенства (17) следует, что при изменении модуля упругости во всех точках сечения одновременно в к раз напряжения остаются прежними.

Если модуль упругости одинаков во всех точках сечения (формула (18)), то напряжения в стержне не зависят от Е. В стальном или дюралевом стержне при одинаковых геометрических размерах и действующих нагрузках напряжения не различаются. Упругие перемещения стержней будут, разумеется, разными. Для закона распределения напряжений (формула (18)) решающим было предположение об упругости материала. Подобный результат имеет общее значение в задачах теории упругости.

3. Формулы (17) и (18) применимы и для стержней переменного сечения, когда упруго-геометрические характеристики сечения изменяются по длине стержня достаточно плавно.

Пример и некоторые дополнительные понятия.

Определим напряжения при изгибе стержня прямоугольного сечения под действием сосредоточенной силы Р (рис. 8.7).

Рис. 8.7. Изгиб стержня прямоугольного сечения: а — стержень; б — поперечное сечение стержня

Рассмотрим сечение на расстоянии z от заделки. Начало координат поместим в центре тяжести сечения.

Изгибающий момент возрастает по мере удаления от точки приложения силы. Напряжения изгиба определим по формуле (18), считая модуль упругости материала стержня постоянным.

Учитывая, что осевое усилие N и изгибающий момент отсутствуют, получим

Остается определить момент инерции поперечного сечения:

и окончательно

Опасным будет сечение, в котором действует наибольшее напряжение. Если стержень призматический, то опасным будет сечение, где изгибающий момент наибольший. В рассматриваемом примере оно расположено в заделке стержня.

Как следует из равенства (20), напряжения изгиба распределяются линейно по высоте сечения. В точках сечения, лежащих на линии у = 0, напряжения изгиба отсутствуют. Линия, в точках которой напряжения изгиба отсутствуют, называется нейтральной линией сечения. В рассматриваемом примере нейтральной линией является ось х. По мере удаления от нейтральной линии напряжения изгиба возрастают. В опасном сечении (z = 0) точки с наибольшими напряжениями изгиба называются опасными точками. Максимальное напряжение изгиба будет при

где М — действующий в рассматриваемом сечении изгибающий момент.

Величина - называется моментом сопротивления сечения изгибу. В точке ) напряжение изгиба будет таким же по величине, но противоположным по знаку:

Расчетные формулы (17) и (18) для нормальных напряжений в стержне по своей структуре достаточно просты, затруднения могут возникнуть при определении главных осей и упруго-геометрических характеристик сеченияг что будет разобрано в следующем разделе, а сейчас рассмотрим вкратце расчет температурных напряжений.