ГЛАВА 12. ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ
Динамические явления играют важнейшую роль в современной технике. Колебания элементов конструкций часто являются причиной разрушений и катастроф. При проектировании технической системы необходимо знать ее частотные характеристики и избегать динамического усиления внешних возбуждений. Основы теории колебаний излагаются в курсе теоретической механики. Однако колебания упругих систем, особенно систем с распределенными параметрами, имеют ряд особенностей, с которыми необходимо познакомиться.
42. Изгибные и продольные колебания стержней
Колебания груза, закрепленного на стержне (балке).
Такая динамическая схема встречается при расчете фундаментных балок и стержней, крепящих тяжелые агрегаты (дизели, турбины и т. п.), и в ряде других случаев. Будем считать массу стержня малой по отношению к массе груза.
Рассмотрим сначала свободные колебания балки с грузом (рис, 12.1), вызванные случайным первоначальным отклонением.
Рис. 12.1. Свободные колебания груза, закрепленного на стержне
В отклоненном положении, которое характеризуется смещением 
зависящим от времени t, на груз действуют сила тяжести Q и сила упругости
где 
— прогиб балки в месте приложения груза (массы) от единичной силы.
Уравнение движения груза имеет вид
где 
— масса груза.
Обозначая
получим дифференциальное уравнение
Общий интеграл этого уравнения можно представить так:
где 
— прогиб балки под действием силы веса; 
начальное отклонение и скорость (при 
).
Пусть в начальный момент времени груз получил отклонение
Тогда из соотношения (5), считая начальную скорость равной нулю, получим
После начального отклонения система начинает совершать колебания с круговой частотой 
амплитудой v относительно положения статического равновесия (прогиба 
). В дальнейшем постоянные во времени силы не будут рассматриваться, следует только считать, что система совершает колебания относительно положения равновесия.
Замечание. Для дифференциального уравнения колебаний
нормальными фундаментальными функциями (разд. 31) являются следующие:
и общее решение уравнения (8) примет вид
При 
получаем решение (5).
