Стесненное кручение тонкостенных стержней. Основные гипотезы.

Рассмотрим теперь стесненное кручение, при котором какое-либо сечение стержня лишено возможности осевого смещения (депланации) (рис. 10.6).

Рис. 10.6. Стесненное кручение стержня, определение сдвига в срединной поверхности стержня

Примем две основные гипотезы, предложенные В. 3. Власовым:

1. Сечение стержня не искажается в своей плоскости.

2. В срединной поверхности стержня отсутствует деформация сдвига.

Эти гипотезы полностью справедливы для чистого кручения; в условиях стесненного кручения они носят приближенный характер. Произвольную точку срединной поверхности А характеризуют две координаты: z — расстояние вдоль оси z, s — расстояние вдоль дуги средней линии, отсчитываемое от начальной точки (положение начальной точки будет указано в дальнейшем). В соответствии с первой гипотезой сечение стержня при кручении поворачивается как жесткое целое. Если — центр поворота, то смещение точки А (рис. 10.7) равно

где — расстояние от точки А до оси поворота, — угол поворота сечения в своей плоскости.

Составляющая перемещения и точки А вдоль касательной к контуру равна

где — длина перпендикуляра, опущенного из точки на направление касательной к средней линии контура в точке А. Положение оси поворота определяется после рассмотрения условий равновесия. Угол сдвига в срединной поверхности стержня (разд. 8) равен

где — составляющая перемещения точки А вдоль оси

Рис. 10.7. Касательное перемещение точки средней линии профиля при кручении

На основании второй основной гипотезы и потому

Интегрируя равенство (7) по переменной s, находим (рис. 10.8)

где — осевое смещение в точке (в точке начала отсчета дуги). Величина

равна удвоенной площади сектора, основание которого вершина — перпендикуляр, опущенный на основание. Имеем

где — удвоенная площадь сектора с вершиной в центре поворота (точке ) (рис. 10.8); Величину называют векториальной площадью, и эта геометрическая характеристика играет центральную роль в теории тонкостенных стержней. В дальнейшем Вудут указаны примеры определения секториальных площадей. Равенство (8) представим так:

Депланация сечения ) пропорциональна секториальной площади.

Рис. 10.8. Секториальная площадь как функция средней йинии профиля