Температурные напряжения и, напряжения от центробежных сил.

Рассматривается цилиндр с постоянными параметрами упругости. При неравномерном нагреве и вращении дифференциальное уравнение для радиального смещения будет неоднородным (уравнение (23)).

Интегрируя уравнение (23) от до , получим

где — произвольная постоянная (множитель 2 взят для удобства дальнейших записей). Перенося в правую часть равенства повторяя операцию интегрирования, находим

Формула (61) выражает общее решение уравнения (23) при произвольной правой части. Далее составляются выражения для и находятся постоянные из краевых условий для радиального напряжения:

Решения для случая, когда на цилиндрических поверхностях действуют давления, были получены ранее.

Покажем более подробно последовательность решения для температурных напряжений, при которых

В этом случае из равенства (61) получаем

причем значения, соответствующие нижнему пределу интегрирования, включаются в произвольные постоянные-Дифференцируя равенство (64), получаем

Подставляя значения

в равенства (15) и (16), находим

где

— деформация вдоль оси z, постоянная для всех точек сечения. Определяя произвольные постоянные из условия (62), получаем

где .

Учитывая полученные значения приходим к следующим формулам для радиального и окружного температурных напряжений:

Для определения осевого напряжения имеется формула (10), которую запишем так:

Неизвестную величину определяем из условия

В результате находим

При использовании формул (70), (71) и (74) следует помнить, что

Подобным образом, полагая

можно получить формулы для напряжений в быстровращающемся цилиндре.

Анализ распределения температурных напряжений. Сначала установим, что в равномерно нагретом, свободном от закрепления цилиндре температурные напряжения отсутствуют. В рассматриваемом случае

Подставляя значение в равенства (70), (71) и (74), находим

что и требовалось доказать.

Получим из соотношений (70), (71) и (74) формулы для температурных напряжений на внутренней и на внешней ) поверхностях цилиндра: при

при

Отметим, что окружные и осевые температурные напряжения на граничных цилиндрических поверхностях одинаковы. Для выяснения «физического смысла» формул (75) и (76) определим «среднюю» температуру, точнее, температурную деформацию цилиндра

С учетом последнего соотношения формулы (75) и (76) представим так:

Если периферия диска нагрета больше (температура возрастает вместе с радиусом) (рис. 14.9, а), то во внешних областях температурные напряжения будут сжимающими.

Рис. 14.9. Распределение, температурных напряжений в цилиндре

Типичное распределение температурных напряжений показано на рис. 14.9, б. Отметим, что температурные напряжения пропорциональны модулю упругости и коэффициенту линейного расширения.

Рис. 14.10. Распределение.температурных напряжений по длине цилиндра: а — цилиндр с абсолютно жесткими шайбами; б — цилиндр со свободными торцами

Замечания. 1. Температурные напряжения определяются температурной деформацией:

Так как коэффициент линейного расширения а заметно зависит от температуры, то более правильно говорить не о распределении температур, а о распределении температурных деформаций.

2. Полученное решение предполагает равномерное распределение температурных напряжений по длине цилиндра. Это осуществляется, если к торцам цилиндра (рис. 14.10) припаяны абсолютно жесткие шайбы. При свободных торцах и полученпое решение справедливо на некотором удалении от торцов.