Понятие о тензоре напряженного состояния.

В механике много фундаментальных понятий связано с векторными величинами (сила, скорость, ускорение и. т. п.). Вектор в обычной (трехмерной) системе координат можно представить в виде столбца

где — три скалярные величины — проекции вектора на оси координат. Для векторных величин определены аналитические операции: сложение, вычитание, умножение. Например, сумма двух векторов равва

Однако существуют физические величины более сложной природы, например напряженное состояние в точке нагруженного тела, которое нельзя описать с помощью какой-либо векторной величины. Тогда вводится понятие «тензор», который образуется из трех векторных величин подобно тому, как сам вектор образуется из трех скалярных величин. Таким образом, тензор характеризуется девятью скалярными величинами — компонентами тензора, которые записываются в виде таблицы. Например, тензор напряжений записывается в следующем виде:

Понятно, что тензор напряжений может полностью характеризовать напряженное состояние, так как его таблица включает компоненты напряжений по трем взаимно перпендикулярным площадкам. Из предыдущего нам известно, что этих данных достаточно, чтобы выяснить напряжения в произвольной площадке.

Тензор напряжений является симметричным, так как таблица (матрица) - тензора симметричная. Симметрия тензора напряжений является следствием парности касательных напряжений.

Симметричный тензор характеризуется не девятью, а шестью скалярными величинами. К более компактной записи векторов и тензоров ведет несколько иной способ обозначения осей, если вместо х, у, z обозначить оси . Компоненты напряженного состояния в осях (рис. 2.26) обозначаются .

Тензор напряжений в компактной записи будет таким:

Тензор, к сожалению, не имеет геометрического образа, однако по отношению к тензорным величинам определен ряд операций. Например, сумма двух тензорных величин и Гесть тензор, причем

Действия над тензорами во многих случаях совпадают с действиями над матрицами.

Тензор напряжений имеет компоненты с двумя индексами, пробегающими значения от 1 до 3. В силу этого он называется тензором второго ранга. Существуют тензоры более высоких рангов; с другой стороны, вектор можно назвать тензором первого ранга.

При повороте системы координат компоненты тензора изменяются, так как по физическому смыслу они представляют собой напряжения в координатных площадках. Однако величины (см. формулы (68) — (70)) являются инвариантами тензора напряжений.