ГЛАВА 6. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ

Вводные замечания.

В настоящей главе рассматриваются приближенные модели растяжения и сжатия стержней. В инженерной практике широко применяются приближенные модели надежности, когда оценки прочности проводятся по средним напряжениям в сечении стержня без учета концентрации напряжений, влияния условий закрепления концов стержня и других факторов. Приближенные модели часто используются для начального этапа проектирования при предварительном выборе размеров. Они позволяют оценить силовые потоки в элементах конструкций, взаимодействие элементов между собой и опорными узлами, выбрать оптимальные конструктивные схемы.

Общие перемещения в стержнях, влияющие на распределение усилий, достаточно точно определяются средними напряжениями.

Модели надежности, основанные на приближенных схемах, часто позволяют более четко выяснить физический смысл различных методов оценки надежности конструкций, определения запасов прочности. В свете этих посылок ниже рассматриваются деформации растяжения и сжатия стержней.

Работа стержней на сжатие имеет свои особенности. Тонкие и длинные стержни при действии сжимающих усилий теряют устойчивость прямолинейной формы равновесия, получают дополнительные прогибы. С этими проблемами мы познакомимся далее, а пока будем считать, что при рассматриваемых напряжениях сжатия потери устойчивости стержней не происходит.

21. Растяжение и сжатие стержней сосредоточенными и распределенными силами

Пример точного решения.

Рассмотрим растяжение призматического стержня усилиями на его торцах (рис. 6.1). Допустим, что внешние силы распределены равномерно по площади сечения и создают растягивающие напряжения . Материал стержня предполагается упругим.

Рис. 6.1. Растяжение стержня усилиями на его торцах

Найдем распределение напряжений и деформаций в стержне, не прибегая к каким-либо допущениям. Решение построим так называемым обратным методом: сначала предположим, что существует некоторое решение, а затем проверим, выполняются ли все необходимые условия.

Допустим, что напряженное состояние в произвольной точке стержня (точке А) таково:

Единственная, отличная от нуля компонента напряженного состояния предполагается постоянной во всех точках тела.

Проверим справедливость уравнений равновесия (уравнений разд. 7). Они удовлетворяются, так как производные обращаются в нуль, а массовая сила отсутствует.

Далее проверяем выполнение краевых условий. Составляющие вектора напряжения на поверхности (см. уравнения (103) гл. 2) равны

где l, m, n — направляющие косинусы нормали к поверхности. На боковых поверхностях стержня — внешние напряжения на боковой поверхности отсутствуют. Условия (2) выполняются, так как .

На торцевых поверхностях

что не противоречит решению (1). Для завершения проверки следует определить деформации по закону Гука и убедиться, что уравнения совместности выполняются.

Из уравнений упругости (уравнений (20) гл. 5) следует

Уравнения совместности (уравнения (41) —(43) гл. 3) удовлетворяются, так как производные деформаций обращаются в нуль. Следовательно, напряжения (1) и деформации (3) составляют точное решение задачи. Определим перемещения точек стержня. Так как

то, интегрируя, находим

где — смещения точки стержня, совпадающей с началом координат.

Наличие в решении постоянных показывает, что перемещения определяются с точностью до смещения стержня как твердого тела.

Из равенства (5) следует, что точки плоскости поперечного сечения (z = const) в результате деформирования получают одинаковое смещение т. е. сечения стержня остаются плоскими.

Рис. 6.2. Различные способы закрепления конца стержня

Далее отметим, что напряженное состояние является одноосным. Волокна стержня испытывают лишь растяжение вдоль оси z. Точки стержня получают также смещения в плоскости сечения. Если конец стержня закреплен в массивной детали, то указанные смещения стеснены и в районе закрепления (рис. 6.2) возникает искажение одноосного напряженного состояния. По принципу Сен-Венана (см. разд. 7) эти искажения должны иметь местный характер и распространяться на длину порядка диаметра стержня.

Определим равнодействующую внешних усилий, приложенных к торцам стержня (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Растяжение стержня сосредоточенными усилиями

В качестве точки приведения выберем центр тяжести сечения, где и поместим начало местной системы координат Сумма всех сил приводит к усилию

где F — площадь поперечного сечения. Моменты относительно осей равны соответственно

так как начало координат лежит в центре тяжести.

Статические моменты площади

относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, равны нулю. Система равномерно распределенных по площади напряжений статически эквивалентна растягивающей силе приложенной в центре тяжести сечения.

Правильно и обратное утверждение: растягивающая сила, действующая вдоль оси стержня, вызывает в сечениях стержня равномерно распределенные нормальные напряжения. Отличия имеют место только возле торцов стержня. Системы внешних сил (распределенные или сосредоточенные усилия) статически эквивалентны, и указанные отличия по принципу Сен-Венана распространяются вдоль оси стержня на расстояние порядка размеров поперечного сечения.

На рис. 6.2 показаны различные условия закрепления конца стержня при его растяжении. Во всех случаях в концевой зоне стержня создаются статически эквивалентные системы внешних усилий, влияние которых сказывается в концевой области.

Рис. 6.4. Нарушение допущений приближенной модели

Вне пределов краевого эффекта можно принимать равномерное распределение напряжений.