Потенциальная энергия деформации стержней при растяжении и изгибе.

Ранее была установлена формула для потенциальной энергии при растяжении стержня постоянного сечения двумя усилиями по концам:

Получим теперь более общую формулу с помощью выражения (17).

При растяжении стержня отличным от нуля является нормальнее напряжение (ось z направлена вдоль, оси стержня).

Из соотношения (17) следует, что

Потенциальная энергия стержня будет равна

Здесь предполагается, что ось стержня прямолинейна и совпадает с осью z.

В общем случае стержень может состоять из отдельных участков, оси которых направлены под углом друг к другу, или быть криволинейным; тогда

где ds — элемент длины стержня, l — полная длина стержня.

Для стержня с постоянными параметрами упругости

Потенциальная энергия стержня при растяжении равна

В частном случае при постоянных значениях получается равенство (27).

Для стержня с переменными параметрами упругости (разд. 4)

Теперь из равенства (28) находим

где — жесткость сечения стержня на растяжение.

Рассмотрим теперь потенциальную энергию деформации при плоском изгибе стержня с постоянными параметрами упругости (рис. 9.5).

Пренебрегая сначала касательными напряжениями изгиба, воспользуемся равенством (28), полагая

Так как

то получаем значение энергии деформации:

Аналогичное соотношение имеет место при изгибе в плоскости .

Рис. 9.5. Определение потенциальной энергии деформации при изгибе стержня

Рис. 9.6. Определение потенциальной энергии деформации, связанной с касательными напряжениями изгиба

Потенциальная энергия деформации при одновременном растяжении и изгибе стержня равна

Для стержня с переменными параметрами упругости получаем подобную зависимость:

где — жесткости сечения стержня на растяжение и изгиб.

Замечание. Равенства (33) и (34) не учитывают касательных напряжении изгиба. Как уже указывалось, их влияние может быть значительным для коротких стержней и для стержней из материалов с малым сопротивлением сдвигу.