Математическая постановка задачи. Функция кручения.
Математическая постановка задачи означает сведение задачи к разрешающей системе уравнений и условиям однозначного их решения. Полученные ранее основные уравнения достаточны для математической постановки задачи, но часто оказывается целесообразным преобразование уравнений, переход к другим переменным и т. п. Для решения задачи введем функцию кручения 
, положив осевое смещение
(67)
тогда из уравнения (60) следует, что
Для точек контура сечения находим из условия (65)
(69)
Отметим, что для всех контурных точек можно считать известными их координаты и значение угла нормали контура с осью х (утла 
).
Отыскание функции 
, удовлетворяющей для всех точек области (поперечного сечения) уравнению Лапласа, а на внешнем контуре условию для производных, называется задачей Неймана. В математической физике доказывается существование и однозначность решения.
Замечания. Если составлять разрешающее уравнение для функции 
то краевое условие содержало бы неизвестную постоянную О. Функция кручения 
определяется только сечением стержня и не зависит от величины приложенного крутящего момента, разумеется, в пределах упругих деформаций.
По физическому смыслу она численно равна осевому смещению при 
.
Краевое условие (69) можно записать в виде
где 
— производная функции 
вдоль направления нормали. Из общего правила определения производной вдоль направления имеем
Так как (рис. 7.17)
то получаем условия (69) или (70). Если функция 
определена, то
Для полного решения задачи требуется определить величину Ф, что можно сделать по условию (66). Внося в это условие уравнения (71) и (72), находим
Примем обозначение
и будем называть 
геометрической жесткостью стержня на кручение. Для круглого стержня поперечное сечение при кручении остается плоским,
и тогда
Из равенства (73) получаем величину относительного угла закрутки
Теперь ясно, что значение функции кручения 
полностью решает, задачу, 
. позволяет найти напряжения и деформации при кручении упругого стержня произвольного сечения заданным крутящим моментом.
Рис. 7.17. Определение производной вдоль направления v для функции 
.
Тем не менее решение с помощью функции кручения является одним из возможных способов решения. Другой способ (в некоторых случаях более удобный) связан с функцией напряжения.
