Уравнение упругой линии при изгибе стержней постоянного сечения.

Приведенные примеры определения деформирования оси стержня были относительно просты тем, что изгибающий момент имел одно аналитическое выражение для всего стержня. Но уже для балки, показанной на рис. 8.64, изгибающий момент имеет два выражения:

что делает более громоздким процесс интегрирования в уравнении (239). Можно, однако, существенно упростить использование уравнения (239) для нескольких типичных нагрузок, приведя уравнение упругой линии к «стандартной форме».

Разумеется, такая форма возможна только для стержней постоянного сечеппя. Для приведения уравнения упругой линии к стандартной форме, естественно, потребуется определенная формализация. Начало координат будем всегда помещать в левом конце стержня; направлениям внешних нагрузок в принятой системе координат припишем определенные знаки. На рис. 8.65 показаны положительпые направления внешних нагрузок.

Рис. 8.65. Положительные направления внешних нагрузок для уравнения упругой линии в стандартной форме

Рис. 8.66. Единичная разрывная функция (функция Хевисайда)

К числу внешних сил относятся усилия и моменты в опорах стержня, и потому опоры стержня не показаны. Уравнение упругой линии (239) представим в следующей стандартной форме;

где функция нагрузки

При действии внешнего момвнта в сечении z = а выражение для изгибающего момента принимает вид

Последнее равенство можно записать более кратко, если ввести единичную разрывную функцию (функцию Хевисайда):

График функции Хевисайда приведен на рис. 8.66. Если f(z) — произвольная (интегрируемая) функция, то

Последнее равенство очевидно, так как функция «уничтожает» все значения при . Повторное интегрирование дает (проверьте!)

Равенство (242) представим в виде

Функция нагрузки для внешнего момента на основании формулы (245) будет такой:

Для внешней силы в сечении

или

Функция нагрузки для внешней силы в сечении z имеет вид

На участке (рис. 8.65) к стержню приложена равномерно распределенная нагрузка с постоянной интенсивностью q. Допустим сначала, что распределенная нагрузка приложена на всем протяжении (до конца стержня) при . Тогда изгибающий момент в сечении

или

Функция нагрузки для распределенной нагрузки при имеет вид

Представим теперь, что на участке при приложена такая же нагрузка, по в противоположном направлении. Тогда для нее функция пагрузки представляется в виде

Функция нагрузки для распределенной нагрузки на участке с будет такой:

Рассмотрим теперь общий случай, когда на стержень в сечениях приложены моменты в сечениях усилия и на участках распределена нагрузка Всего таких сечений .

В соответствии с принципом независимости действия сил, справедливым для упругих систем, при одновременном воздействии всех нагрузок уравнение упругой линии будет таким:

Это и есть уравнение упругой линии в стандартной форме (или универсальное уравнение упругой линии). Его, можно дополнить учетом распределенной нагрузки с линейным и квадратным законом изменения по z, но в этом нет необходимости, так как нагрузку всегда можно аппроксимировать участками постоянной интенсивности.

Пример использования уравнения упругой линии стержня в стандартной форме.

Определим уравнение упругой линии стержня на двух шарнирных при действии сосредоточенной силы в середине пролета (см. рис. 8.64). К стержню приложены три внешние силы в сечении в сечении и в сечении

По формулам (240) и (249) находим

Сила (реакция в опоре В) в явном виде не участвует, так как приложена в правом конце стержня . Из краевого условия получаем

тогда уравнение упругой линии стержня примет вид

Наибольший прогиб получается при