Условие равновесия элемента стержня при наличии распределенных изгибающих моментов.

В некоторых случаях (рис. 8.29) на стержень могут действовать распределенные моменты (например, от продольных сил, приложенных с эксцентриситетом относительно оси стержня). Условие равновесия для сил (уравнение (81)) остается без изменений, а для равновесия моментов получим

Пренебрегая членами второго порядка малости, найдем

где — интенсивность распределенных моментов; величина имеет размерность силы.

Касательные напряжения изгиба.

При изгибе от поперечных нагрузок в стержне возникают касательные напряжения, уравновешивающие перерезывающую силу. Рассмотрим плоский изгиб стержня (рис. 8.30), происходящий в плоскости у, z; пусть ось у является осью симметрии сечения.

Рис. 8.30. Определение касательных напряжений изгиба

Основное допущение при определении касательных напряжений состоит в следующем: касательные напряжения направлены параллельно плоскости изгиба и распределены равномерно по прямой у = const (т. е. постоянны по ширине сечения ).

Рассмотрим два близких поперечных сечения на расстоянии (см. рис. 8.30). Оси х, у проходят через центр тяжести сечения, ось х является нейтральной линией (в точках этой линии . Проведем сечение у = const и рассмотрим равновесие отсеченной части элемента стержня (части ). Вдоль линии действуют касательные напряжения . Такие же по величине напряжения в силу парности касательных напряжений должны действовать в площадке размеры которой .

Нормальные напряжения в сечении

В общем случае изгибающий момент и момент инерции сечения могут зависеть от z. Нормальное усилие, действующее на рассматриваемую заштрихованную часть сечения, площадь которой составляет будет равно

где — переменная интегрирования . Внося значение напряжения из соотношения (88), находим

где

— статический момент части сечения.

В общем случае так как величина . Выражения (88) и (90) справедливы для стержня с постоянным по сечению модулем упругости. Для стержня с переменным модулем упругости, симметрично распределенным относительно плоскости

где жесткость сечения стержня на изгиб

Нормальное усилие, приложенное к части сечения

где

— упруго-статический момент части сечения.

Рассмотрим теперь условие равновесия отсеченной части элемента стержня. Проектируя все силы на направление оси z, получим

Приращение выражено с помощью частной производной, так как величина зависит также от у.

Далее получаем

Из последнего равенства вытекает важная формула

Замечания. 1. Физический смысл соотношений (96) и (97) состоит в следующем: касательные напряжения образуются вследствие необходимости уравновесить изменение осевых сил по длине стержня. Если в стержне постоянного сечения нормальные напряжения постоянны по длине, то никаких касательных напряжений не возникает.

2. В соответствии с равенствами (88) или (89) рассматриваются нормальные напряжения изгиба от действия внешних сил. В более общем случае, изучение которого опустим, нормальные напряжения могут быть связаны с действием продольных сил и (или) неравномерного нагрева. Если продольное усилие постоянно по длине, то оно не вызывает касательных напряжений.