Основная форма дифференциального уравнения плоского изгиба стержня.

Ранее было установлено дифференциальное уравнение изгиба (уравнение (237)), которое запишем в следующей форме:

После интегрирования уравнения (237) или (252) были получены значения прогиба и угла поворота (соотношения (238) и (239)). Одиако во многих случаях более удобно определить в результате интегрирования все основные параметры задачи: прогибы, углы поворота, изгибающие хмоменты и перерезывающие силы. Для эгого следует перейти к другой, эквивалентной форме дифференциального уравнения изгиба.

Дифференцируя равенство (252) по z и используя уравнение равновесия (82), получим

Рис. 8.67. Виды закрепления конца стержня: а — заделка; б — шарнирное закрепление; в — свободный конец; г — загруженный конец

Снова повторяя дифференцирование и ссылаясь на соотношение (81), приходим к следующему дифференциальному уравнению:

Это и есть основная форма дифференциального уравнения плоского изгиба стержня.

Для стержня постоянного сечения уравнение (254) будет таким:

Дифференциальное уравнение определяет широкий класс функций.

Из него должна быть выбрана функция, удовлетворяющая краевым условиям задачи (т. е. условиям закрепления концов стержня). Разберем эти условия при (рис. 8.67); при они имеют точно такой же вид.

Конец заделан:

Шарнирное закрепление:

Свободный конец:

Загруженный конец:

Если производная ограничена при то второе условие для свободного конца может быть принято в более простом виде:

Условия на загруженном конце согласованы с правилами знаков для и условиями (252) и (253) (рис. 8.3).

Уравнение (254) представляет дифференциальное уравнение четвертого порядка, и для однозначности решения должны быть заданы четыре краевых условия (по двана каждом конце). При наличии сосредоточенных моментов и сил должны быть заданы скачки производных в соответствующих сечениях.

Замечание. Уравнение (254) называется основным, так как объединяет основные уравнения изгиба: геометрические, физические и статические. Уравнение (252) включает уравнения равновесия только косвенно (при определении изгибающего момента).

В форме (254) уравнение изгиба используется в задачах колебания и устойчивости стержней и других задачах, где требуется более полный анализ. Уравнение изгиба в основной форме является разрешающим, т. е. позволяет по заданной функции найти основные параметры задачи без предварительного определения изгибающего момента в сечении.