Касательные напряжения изгиба в тонкостенных стержнях.

При анализе касательных напряжений изгиба в стержнях с массивным (компактным) поперечным сечением (см. рис. 8.30) было сделано допущение об их равномерном распределении вдоль прямой . Было показано на примере круглого сечения (см рис. 8.32), что в ряде случаев такое допущение носит приближенный характер, так как вектор касательного напряжения в точках контура не направлен по касательной к контуру. Для стержней с тонкостенным сечением касательные напряжения изгиба можно определить более точно, так как их направление практически известно заранее. Они должны быть направлены вдоль средней линии тонкостенного профиля (см. рис. 8.35). Так как толщина профиля мала, то касательные напряжения изгиба можно считать постоянными по толщине.

Таким образом, предполагается, что касательные напряжения направлены вдоль средней линии тонкостенного профиля и постоянны по толщине.

Рассматривается изгиб в плоскости у, z (рис. 8.35). Для определения величины касательного напряжения вдоль нормали к средней линии отсекается часть элемента стержня, показанная на рис. 8.35. Равнодействующая нормальных усилий, приложенных к площади отсеченной части обозначается, как и раньше, . Из условия равновесия отсеченной части находим

Для стержня постоянного сечения с постоянными модулями упругости

и тогда получаем формулу Журавского — Власова для тонкостенных стержней

Замечание. структуре формула (110) не отличается от формулы Журавского (99), но, в сущности, здесь речь идет о решении иной задачи.

Рис. 8.35. Касательные напряжения изгиба в тонкостенных стержнях

Примеры определения касательных напряжений изгиба в тонкостенном стержне.

Рассмотрим стержень, имеющий сечение швеллерного типа, причем толщина стенки мала по сравнению с высотой h и шириной (рис. 8.35, б). Момент инерции поперечного сечения

Для определения касательных напряжений в верхней полке (участок ) проведем сечение на расстоянии (рис. 8.35); площадь отсеченной части статический момент . Касательное напряжение в верхней полке

пропорционально величине .

В вертикальной стенке на расстоянии у статический момент отсеченной части

Первый член правой части выражает статический момент верхней полки, второй — участка вертикальной стенки от у до .

Наибольшее касательное напряжение будет при

Распределение касательных напряжений показано на рис. 8.35, б. Вертикальная стенка воспринимает существенную часть касательных напряжений, она полностью воспринимает перерезывающее усилие .

Замечание. Внимательный читатель, по-видимому, обратил внимание на то, что поток касательных напряжений изгиба (см. рис. 8.35) не только уравновешивает усилие Q, но и создает крутящий момент. Это означает, что при приложении внешней нагрузки в центр тяжести сечения стержень будет закручиваться.

Рис. 8.36. Касательные напряжения при изгибе в тонкостенной трубе

Рассмотрим теперь касательные напряжения при изгибе тонкостенной трубы (рис. 8.36, а). Толщина стенки б считается малой по отношению к радиусу средней линии r.

Момент инерции сечения

Отсеченную часть примем в виде части кольцевой области (см. рис. 8.36), соответствующей центральному углу ; касательное напряжение

статический момент считая

касательное напряжение

Максимальное касательное напряжение (рис. 8.36, б) будет при :

— среднее касательное напряжение.

Обоснования приближенного метода расчета касательных напряжений изгиба.

В изложенном методе касательные напряжения находились из уравнений равновесия элемента стержня, причем нормальные напряжения считались заданными. Предполагалось, что в свою очередь касательные напряжения не влияют на распределение нормальных напряжений. Естественно, что такой подход является приближенным, так как при строгой постановке задачи нормальные и касательные напряжения в силу соотношений упругости связаны между собой не только уравнениями равновесия, но и уравнениями совместности деформаций (гл. 2, 3). Однако в некоторых простейших случаях приближенное решение совпадает с точным.

Рассмотрим снова задачу изгиба стержня прямоугольного сечения (рис. 8.37), поместив начало координат в центре тяжести корневого сечения.

Рис. 8.37. Решение задачи об изгибе стержня как задачи теории упругости

На основании приближенного решения имеем следующие значения компонентов напряженного состояния:

Проверим, удовлетворяются ли уравнения равновесия и совместности деформаций и можно ли считать полученное решение достаточно строгим.

Уравнения равновесия рассматриваются при отсутствии массовых сил:

или

Таким образом, дифференциальное уравнение равновесия удовлетворяется.

Проверим теперь выполнение условий совместности деформаций (гл. 3, уравнения Определим сначала деформации в соответствии с законом упругости:

Все уравнения совместности удовлетворяются тождественно, кроме уравнения (11) гл. 3, относящегося к деформации е. Если считать, что размер b значительно меньше , то перемещениями в направлении оси х (см. рис. 8.37) можно пренебречь. Этот случай соответствует задаче о плоском напряженном состоянии. Можно считать, что уравнения совместности выполняются. Наконец, следует отметить, что краевые условия по торцам стержня выполняются в интегральном смысле. Таким образом, при изгибе стержня прямоугольного сечения приближенное решение совпадает с точным. Решения, полученные методами теории упругости, и экспериментальные исследования показывают, что приближенная теория изгиба стержней применима для инженерных расчетов.

Замечание. В ряде случаев приближенный апализ должен дополняться исследованием местных напряжений при резком изменении поперечного сечения — в зонах закрепления стержня и передачи внешних усилий, в коротких стержнях и т. д., о чем будет сказано в дальнейшем.

Роль касательных напряжений при изгибе стержня. Обычно для достаточно длинных стержней касательные напряжения малы по сравнению с нормальными напряжениями изгиба.

Например, для консольного стержня постоянного сечения (см. рис. 8.37) наибольшие нормальные и касательные напряжения равны

Отношение

уменьшается по мере увеличения длины стержня I.

Влияние касательных напряжений на прочность сказывается для балок из обычных конструкционных, материалов только в коротких стержнях . Для композиционных материалов влияние касательных напряжений изгиба оказывается более существенным, так как их сопротивление сдвигу обычно значительно меньше, чем растяжению и сжатию. Однако основное значение касательных напряжений состоит в том, что они обеспечивают совместную деформацию всех частей стержня при его изгибе.

На рис. 8.38 рассматривается изгцб консольного стержня в двух случаях. В первом случае (рис. 8.38, а) связь обеих половин нарушена и стержень изгибается так, что каждая часть воспринимает половину нагрузки.

Рис. 8.38. Касательные напряжения изгиба (обеспечивают совместную деформацию частей — плоское сечение всего стержня при изгибе)

Во втором случае (рис. 8.38, б) обе части стержня спаяны и сечение остается при изгибе плоским.

Для двух параллельно работающих стержней максимальное. напряжение пзгиба

Во втором случае

При отсутствии касательных напряжений изгиба на поверхности контакта нормальные напряжения изгиба в рассматриваемом случае возрастают в два раза!

В еще большей стспспи падает жесткость стержня на изгиб. Для первого случая суммарный момент инерции

при совместном деформировании

что превышает в четыре раза!

Отметим, что при изгибе стержпя моментами (так называемый чистый изгиб стержня) касательные напряжения не возпикают (рис. 8.39). Совместная деформация всех частей стержпя обеспечивается наличием жестких пластинок но торцам стержня или линейным распределением внешних нагрузок в концевых сечениях в соответствии с гипотезой плоских сечений. В этом случае можно считать, что продольные волокна стержня работают независимо. Учет касательных напряжений в изгибе важен при расчете стержпей (балок) составного сечения.

Рис. 8.39. Изгиб стержня моментами, при которых касательные напряжения не возпикают

Рис. 8.40. Касательные напряжения при изгибе составных балок

На рис. 8.40 показана балка, состоящая из стенки, к которой прикреплены стержни уголкового профиля.

Сечение работает на изгиб совместно, так как через заклепки передается касательное усилие

где t — шаг заклепок (расстояние между заклепками); — статический мент инерции уголка; — момент инерции всего сечения стержня относительно оси

Напряжение среза в заклепке

где — площадь сечения заклепки.

Распределение касательных напряжений изгиба имеет важное значение при армировании (укреплении) материала прочными волокнами (композиционные материалы, армированный бетон и др.). Прочные волокна должны располагаться по линиям действия главных напряжений.