Функция напряжения.

Предположим, что касательные напряжения при кручении можно представить в следующем виде:

где F(x, у) — подлежащая определению функция напряжения, G — модуль сдвига, — относительный угол закручивания. Такая форма представлендя позволяет сразу удовлетворить уравнениям равновесия (59). Из соотношений (71) и (72) находим связь функций напряжения и кручения:

Дифференцируя равенство (80) по у, а равенство (81) по х и складывая, найдем

Это уравнение называется уравнением Пуассона. Оно отличается от уравнения Лапласа наличием заданной функции в правой части уравнения.

Для точек контура из условия (62) получаем

Далее следует учесть соотношения для элемента дуги контура

и тогда из равенства (83) с необходимостью следует

В точках контура производная функции F(x, у) вдоль дуги равна нулю. Следовательно, для точек контура

где С — постоянная.

Замечание. Условие (86) можно получить несколько другим путем. Умножая уравнение (85) на ds, получаем для точек контура

и, следовательно, справедливо условие (86).

Для односвязной области, т. е. для поперечного сечения без внутренних полостей, постоянную С можно принять равной нулю, и тогда для точек контура

Итак, задача кручения сводится к нахождению функции напряжения как решению уравнения Пуассона при постоянном значении функции на контуре.

Перейдем к определению величины Ф. Из условия (66) находим

где — площадь поперечного сечения. Учитывая очевидные соотношения

находим

так как в силу условия (87)

Доказательство условия (90) можно провести различными путями: преобразуя интеград по площади в интеграл по контуру или проводя интегрирование по dx и dy с учетом условия (87). Геометрическая жесткость стержня на кручение (для односвязного сечения)

Мембранная аналогия для функции напряжения.

Рассмотрим мембрану, например тонкую резиновую пленку, закрепленную по контуру Г (рис. 7.18). Мембрана предварительно растянута в двух направлениях с напряжением а на плоском диске, имеющем отверстие, по форме сечения стержня, и затем изнутри дается давление р.

В результате мембрана получит прогибы f(x,y), но на контуре сечения прогиб f = 0. Предполагается, что прогибы мембраны невелики и предварительные напряжения о не изменятся в процессе прогиба. В каждом из направлений мембрана ведет себя как гибкая нить (разд. 25).

Рис. 7.18. Мембранная аналогия для функции кручения: а — прогиб мембраны; б — к выводу уравнения мембраны

Условие равновесия мембраны составляется как равенство нулю сил, действующих в вертикальном направлении. В результате изменения прогибов f вдоль оси х составляющая от растяжения мембраны будет равна

где — толщина мембраны.

С учетом изменения прогибов вдоль оси у получим

где — давление на мембрану.

Принимая и сопоставляя уравнения (82) и (92), находим

так как функции F и удовлетворяют одинаковым уравнениям и краевым условиям. Прогиб мембраны под действием внутреннего давления пропорционален функции напряжения. В этом и состоит мембранная аналогия, позволяющая экспериментально решать задачу кручения при соответствующем выборе давления, натяжения и толщины мембраны.

Отметим, что опорный контур мембраны может соответствовать контуру сечения стержня и в некотором масштабе, что приведет только к изменению множителя.

Достоинство мембранной аналогии заключается также и в том, что она позволяет представить поведение функции напряжения так как характер прогибов (провисания) мембраны можно предвидеть из физических соображений.

Рис. 7.19. Прогибы мембраны (функция напряжений) для сечения стержня в виде вытянутого прямоугольника: а — прогибы мембраны; б — распределение касательных напряжений

Например, для контура сечения в виде вытянутого прямоугольника (рис. 7.19) прогибы мембраны вдоль длинной стороны будут практически постоянными (за исключением областей, примыкающих к малым сторонам).

Касательные напряжения пропорциональны углу наклона поверхности мембраны:

где к — коэффициент пропорциональности. Примерное распределение касательных напряжений показано на рис. 7.19, б. В углах прямоугольника напряжения равны нулю.

Рис. 7.20. Кручение стержня эллиптического сечения