Применение вариационного метода для определения частот и форм изгибных колебаний стержня.

Ранее было получено вариационное уравнение изгиба стержня в виде (разд. 36)

где

Возможная работа внешних сил при вариации прогиба равна

Для задачи о колебаниях стержня

вариация возможной работы

Возможная работа внешних сил

По физическому смыслу величина W представляет амплитудное значение кинетической энергии при колебаниях стержня. Полная потенциальная энергия системы равна

Величина П равна разности между потенциальной энергией деформации и ее кинетической энергией. Наиболее простое решение по методу Рэлея — Ритца получается для одного параметра, когда предполагается

(76)

где — заранее выбранная функция из числа допустимых. Например, для консольного стержня можно принять

Более точные результаты, но несколько более сложные вычисления получаются, если принять пропорциональной прогибу консольного стержня постоянной толщины при действии равномерной статической нагрузки:

В этом случае выполняются не только необходимые (кинематические) условия при

но и (силовые) краевые условия при

В соответствии с методом Рэлея — Ритца частота колебаний находится из уравнения

отсюда

Метод Рэлея—Ритца всегда дает несколько завышенное значение частоты колебаний, так как он накладывает дополнительные связи на систему. Наиболее точное решение по формуле (80) дает функция, обеспечивающая минимум . Формулу (80) часто называют формулой Рэлея. Высокую точность расчета дает использование нескольких параметров при аппроксимации прогиба функцией

Полная потенциальная энергия деформации равна

Из вариационного уравнения

следует

что и образует систему линейных однородных уравнений для определения

Частная производная полной потенциальной энергии имеет вид

В матричной форме имеем

где элементы матрицы для строки и столбца равны

(85)

Из условия равенства нулю определителя системы:

находим значения частоты .

Например, при двух членах ряда (81) уравнение (86) будет таким:

Отметим, что коэффициенты и обладают свойством симметрии:

что вытекает из равенств (85),