Температурные напряжения.

В пределах упругости материала напряжения от внешних сил и нагрева можно находить независимо. Рассмотрим определение температурных напряжений в стержне, считая, что внешние нагрузки отсутствуют. Внося равенства (14) — (16) в соотношение (15), получим формулу для температурных напряжений

Покажем, что в равномерно нагретом стержне, когда

(23)

температурные напряжения отсутствуют. Подставляя значение из (23), находим отвм так как оси у проходят через приведенный центр тяжести. Результат справедлив при статически определимых условиях закрепления, когда температурные деформации стержня не стеснены (например, один из торцов стержня свободен от закрепления).

Если нагрев (однородного стержня) осуществляется до температур, при которых изменением модуля упругости можно пренебречь (Е = const), то из соотношения (22) получаем более простую зависимость:

Рассмотрим в качестве примера определение температурных напряжений в стержне прямоугольного сечения (рис. 8.8, а), основание которого высота . Температура изменяется по степенному закону (рис. 8.8, б):

причем показатель степени является четным и температура имеет симметричное распределение; по координате у температура не изменяется.

Рис. 8.8. Определение температурных напряжений в стержне: а — неравномерный нагрев стержня; б — распределение температур и температурных напряжений

Предполагается для простоты, что влиянием нагрева на величину модуля упругости можно пренебречь.

Отметим, что

как статические моменты площади сечения с симметрично распределенным «весом»; это вытекает из физических предпосылок, так как принятое распределение температур не вызывает изгиба стержня, сечение стержня как жесткое тело может получить только поступательное движение, оставаясь параллельным своему положению до нагрева. Наконец, равенство (26) доказывается строго с помощью интегрирования по площади сечения. Далее находим

Из формулы (24) вытекает

Распределение температурных напряжений по координате х показано на рис. 8.8, б.

В более нагретых частях стержня возникают сжимающие температурные напряжения. Физически это объясняется тем, что крайние волокна стержня получают большую температурную деформацию и при отсутствии поперечных связей стержня деформируются так, как показано на рис. 8.9, а.

Рис. 8.9. Картина температурных деформаций в стержне: а — поперечные связи отсутствуют; 6 — в конце стержня имеется жесткая пластинка

Поперечные связи удерживают крайние волокна (рис. 8.9, б), создавая в них напряжения сжатия, а в менее нагретых частях стержня — растяжения.

Замечания. 1. При выводе формулы для температурных напряжений (22) или (24) предполагалась справедливость гипотезы плоских сечений. При определении температурных напряжений она нарушается вблизи свободного торца стержня.

Действительно, по равенству (22) температурные напряжения одинаковы по всей длине стержня, вместе с тем свободный торец стержня свободен от каких-либо напряжений. Если же на торце стержня имеется жесткая пластинка, то температурные напряжения будут во всем стержне одинаковыми по длине и строго соответствовать формуле (22). При свободном торце в концевой области должны возникнуть касательные напряжения (поперечные связи), которые на некотором удалении от свободного торца (порядка размера сечения) сделают все-таки поперечные сечения плоскими и, следовательно, формулы (22) и (24) справедливыми.

2. Напряжения от неравномерного нагрева (температурные напряжения) в статически определимом стержне (ил? свободном от закрепления) всегда самоуравновешены. Это означает, что

В сущности, эти условия были использованы при выводе уравнений (6) — (8); уравнения (22) и (24) удовлетворяют этим условиям при любом распределении температуры.

Свойством самоуравновешенности обладают и остаточные напряжения, существующие в элементах конструкции после их изготовления. Температурные и остаточные напряжения имеют, в сущности, одну причину возникновения — неравномерные первоначальные деформации (в результате нагрева или в процессе изготовления).