25. Гибкие нити

В современных конструкциях часто используются в. качество несущих элементов гибкие нити (мосты, перекрытия, подвесные дороги, расчалки, детали из композиционных материалов и т. п.). Это связано с тем, что в гибких нитях осуществляется наиболее полное использование механических свойств материала. Модели гибких нитей служат для расчета тросов, цепей, струн, ремней, проводов и т. п.

Основные свойства гибких нитей и условия равновесия.

Основное свойство гибких нитей — нить работает только на растяжение. Сечение нити не может передавать изгибающий момент (два звена цепи не сопротивляются взаимному повороту); участок нити не может выдержать сжатие — он будет искривляться.

Вместе с тем нить может воспринимать поперечную нагрузку — за счет изменения направления нити (рис. 6.30). Усилие, растягивающее нить, всегда направлено по касательной к ней (см. рис. 6.30).

Рис. 6.30. Усилия, действующие в сечении нити

Рис. 6.31. Условия равновесия элемента нити

Это вытекает из того, что сечение нити не может уравновешивать изгибающий момент (каждое сечение нити является шарниром!).

Полное усилие

где Q — поперечная сила (вертикальная составляющая натяжения нити N), H — горизонтальное натяжение (горизонтальная составляющая натяжения нити N).

Из условия равновесия нити сила Q равна алгебраической сумме всех вертикальных сил, приложенных к отсеченной (левой) части нити. Обычно значения силы Q в сечениях нити можно считать известными.

Так как усилие N направлено по касательной к нити, то

Рассмотрим условие равновесия элемента нити (рис. 6.31). Если q и h — составляющие распределенной внешней нагрузки, приложенной к нити, то из условия равновесия участка найдем

Если внешние нагрузки на нить направлены вертикально (), то горизонтальное натяжение H постоянно по длине нити ).

Из уравнений (132) и (133) получается основное уравнение равновесия нити:

По физическому смыслу q — нагрузка, приходящаяся на единицу длины оси . Размерность (единицы измерения, например, и т. п.).

Гибкая нить под действием сосредоточенных усилий (рис. 6.32).

Предполагается, что собственный вес нити мал по сравнению с приложенными усилиями. На практике встречаются две постановки задачи:

1. Заданы внешние нагрузки и горизонтальное натяжение нити; требуется определить натяжение нити и ее длину.

Рис. 6.32. Нить под действием сосредоточенных сил

2. Заданы внешние нагрузки и длина нити требуется найти натяжение нити.

Рассмотрим сначала первый вариант и определим реакции НА из общих уравнений равновесия (суммы моментов относительно точек А и В равны нулю)

Теперь можно определить перерезывающую силу в сечении нити (см. рис. 6.30). Будем иметь

По равенству (132) находим

Натяжение пити составит

Прогибы нити определяются равенством

Учитывая равенства получим

Если обе опоры находятся на одном уровне то прогибы нити обратно пропорциональны величине горизонтального натяжения (распора). При подъеме опоры В на высоту с получается дополнительный прогиб

не зависящий от .

Длина нити (деформацией растяжения нити пренебрегаем) равна

В рассматриваемом случае

где значения определяются равенствами (139).

При решении задачи по второму варианту» когда задана длина нити L и требуется найти , решение строится методом последовательных приближений. Сначала задаются произвольным значением и находят соответствующую этому значению , то выбирают второе приближение: и расчет повторяется. Задачу можно решить графическим способом, построив зависимость и определив значение для заданной величины

В простейших случаях зависимость может быть найдена аналитически.

Пример построения модели надежности.

Требуется разработать модель надежности для конструкции в виде гибкой нити при действии сосредоточенной силы (рис. 6.33).

Из уравнений (139) при находим

Рис. 6.33. Модель надежности для нити под действием сосредоточенной силы

Наибольший прогиб пити составит

Натяжение нити будет равно

Длина нити по формуле (143) составляет

Проведем анализ для наиболее неблагоприятного случая, когда сила приложена в середине пролета. При получаем

Из последнего равенства получаем зависимость горизонтального натяжения от длины нити

Натяжение нити при будет таким:

Модель надежности принимаем по допускаемому напряжению

где F — площадь сечения нити.

Наибольшая допустимая нагрузка на нить

Из модели надежности следует, что при допустимое значение . Это - становится понятным, - если учесть равенство (148). При в нити возникают бесконечно большие напряжения.

Замечание. Следует учесть, что модель относится к нерастяжимой нити. С учетом упругости нити напряжения в рассматриваемом случае будут определены в дальнейшем. Они окажутся не бесконечно большими, но весьма значительными.

При анализе надежности всегда необходимо составить отчетливое представление о тех допущениях, которые были приняты, для упрощения модели.