37. Вариационные методы и общие свойства упругих систем

Два основных вариационных метода.

Ранее рассматривался вариационный метод, основанный на начале возможных перемещений (метод вариации перемещений). Перемещения предполагались достаточно непрерывными функциями, с тем чтобы выполнялись условия совместности (непрерывности) деформаций. Условия равновесия и краевые условия для напряжений удовлетворялись с помощью вариационного уравнения Лагранжа.

Другой вариационный метод — метод вариации напряжений — основан на сравнении двух близких напряженных состояний, каждое из которых удовлетворяет условиям равновесия и краевым условиям» Вариационное уравнение метода эквивалентно условиям совместности деформаций.

В некотором смысле методы противоположны: при вариации перемещений условия совместности удовлетворяются заранее и находится решение, соответствующее уравнениям равновесия. В качестве основных неизвестных принимаются перемещения. В методе вариации напряжений заранее выполняются уравнения равновесия и краевые условия и строится решение, удовлетворяющее условиям совместности; основными неизвестными являются напряжения.

Рассмотрим теперь основные уравнения метода вариации напряжений сначала на простом примере растяжения стержня.

Метод вариации напряжений.

Стержень переменного сечения (лопатка турбины) растягивается в поле центробежных сил (рис 9.22).

В концевом сечении z = l приложена распределенная поверхностная нагрузка, интенсивность которой равна

где — площадь поперечного сечения стержня при На стержень действуют массовые силы, причем интенсивность на единицу объема

где — плотность материала, а) — угловая скорость, — радиус корневого сечения.

Растягивающее усилие в сечении z

где — площадь поперечного сечения стержня.

Рис. 9.22. Растяжение стержня: а — расчетная схема; б — равновесие элемента стержня

Напряжение растяжения в поперечном сечении

Условие равновесия элемента стержня имеет вид

Теперь рассмотрим вариации напряженного состояния при вариации внешних нагрузок (усилия на конце стержня и объемных распределенных усилий ). Геометрические размеры стержня не варьируются.

Будем считать, что вариации напряжений, вызываемые вариациями внешних нагрузок, согласованы с условиями равновесия и краевыми условиями.

На торце стержня (z = l) вариация внешнего усилия

Следовательно, вариация растягивающего напряжения в сечении должна быть

где — вариация поверхностной нагрузки на торце стержня. Вариация растягивающего усилия

должна удовлетворять уравнению равновесия (115):

где — вариация объемного усилия.

Причина, вызывающая вариацию объемного усилия, для дальнейшего несущественна; это может быть изменение угловой скорости вращения или плотности материала.

Рассмотрим вариацию (изменение) потенциальной энергии стержня, считая материал упругим:

Так как вариация усилий предполагается малой, то вторым членом правой части равенства можно пренебречь:

Учитывая, что

запишем равенство (120). в таком виде:

Так как

то величина

представляет вариацию удельной потенциальной энергии деформации.

Преобразуем формулу для вариации потенциальной энергии стержня с помощью интегрирования по частям:

где — перемещение сечения стержня вдоль оси z, одинаковое во всех точках сечения; при Учитывая условие равновесия (119), находим

или

Последнее равенство устанавливает связь между вариацией потенциальной энергии стержня и работой вариаций внешних сил. Соотношение (126) представляет частный случай вариационного уравнения метода вариаций напряжений.

Замечание. Равенство (126) можно записать так:

Величина

называется вариацией потенциальной функции напряжений. Для упругих деформаций потенциальная функция напряжений равна потенциальной энергии стержня (энергии деформации):

(129)

На рис. 9.23 показана кривая деформирования . Площадь под кривой деформирования равна удельной энергии деформации.

Рис. 9.23. Связь энергии деформации и потенциальной функции напряжений

Величина Я представляет площадь, дополняющую V до площади прямоугольника :

Величину иногда называют дополнительной энергией деформации. Если зависимость выражается прямой линией (упругие деформации), то справедливо равенство (129).

В дальнейшем ограничимся применением метода вариации напряжений для линейно упругого материала. Ограничения могут быть сняты, если вместо U подразумеваться.