Дифференциальное уравнение изгибных колебаний стержней.
Рассмотрим теперь непрерывное распределение массы; пусть
— масса, приходящаяся на единицу длины стержня (
— плотность материала,
- площадь поперечного сечения стержня).
При изгибных колебаниях на единицу длины стержня действует распределенная нагрузка
:
Уравнение изгибных колебаний можно получить из основного уравнения изгиба стержней (см. разд. 31)
где
— интенсивность распределенной нагрузки (рис. 12.7).
Применительно к колебаниям величина
определяется равенством (37). Прогиб оси стержня
зависит теперь не только от z, но и от времени t, и потому в уравнение (38) должны входить частные производные
При анализе собственных колебаний предположим
где
— круговая частота колебаний,
— амплитудное значение прогиба при колебаниях. С помощью соотношения (40) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:
Этот результат можно было сразу получить из статической аналогии, положив