Применение начала возможных перемещений для определения прогибов стержней. Интеграл Мора.

Этот метод имеет широкое распространение при решении практических задач. Пусть имеется стержень, загруженный произвольными силами (основная система, рис.

9.13, а), и в сечении а возник прогиб Для его определения поступим следующим образом.

Рис. 9.13. Вывод интеграла Мора из начала возможных перемещений: а — основная система; б — единичная система

Рассмотрим тот же стержень под действием единичного усилия (единичная система, рис. 9.13, б).

Стержень получит прогиб в сечениях стержня под действием единичной силы возникнут изгибающий момент и перерезывающая сила .

Допустим теперь, что единичной системе (рис. 9.13, б) сообщили возможные смещения, равные действительным прогибам стержня в основной системе:

Равенство (97) вполне закономерно — прогибы являются малыми величинами, удовлетворяющими связям системы.

Так как возможная работа внешних сил равна возможной работе внутренних силовых факторов (начало возможных перемещений), то

где соответствуют прогибам в основной системе.

Далее имеем с учетом температурных деформаций (см. уравнение (15) гл. 8)

где жесткость сечения на изгиб, - температурный момент.

Деформация, сдвига (см. разд. 35) равна

Таким образом, прогиб в сечении а будет

Это и есть интеграл Мора для вычисления прогиба стержня.

Для того чтобы найти прогиб в заданном сечении, нужно приложить единичную силу в этом сечении, определить изгибающий момент и перерезывающую силу от единичной силы и вычислить интеграл Мора (101). Если величина получается положительной, то прогиб совпадает по направлению с единичной силой.

Во многих практических задачах интеграл, связанный с действием перерезывающей силы, может быть опущен.

Для стержня с постоянными параметрами упругости, пренебрегая перерезывающими усилиями и неравномерным нагревом, будем иметь

Замечание. Следует отметить, что имеет размерность длины, а — безразмерная величина, так как в равенстве (98) была сокращена размерная единица силы (см. примеры).

Пример. Пусть требуется определить прогиб конца консольного стержня прямоугольного сечения, загруженного силой Р (рис. 9.14), с учетом деформации сдвига.

Воспользуемся формулой (101), считая параметры упругости постоянными, материал стержня равномерно нагретым

Знак минус означает, что прогиб направлен в сторону, противоположную приложенной единичной силе.

Решение совпадает с прежними результатами (см. разд. 34).