52. Цилиндрические оболочки

Гипотеза жесткой нормали, деформации.

При осесимметричной деформации цилиндрической оболочки (рис. 16.11) точка срединной поверхности (рис. 16.12) получает смещения по оси оболочки и вдоль радиуса . Точка отстоящая от срединной поверхности на расстояние z, будет иметь перемещения нормаль к срединной поверхности повернется на угол .

Рис. 16.11. Цилиндрическая оболочка

Рис. 16.12. Схема деформации оболочки

По гипотезе жесткой нормали получим

Если пренебречь деформацией материала тонкостенной оболочки в радиальном направлении, то

Деформации в слое z

где — деформация в точках срединной поверхности. По гипотезе жесткой нормали имеем

Полагая для тонкостенной оболочки

получим

Напряжения и силовые факторы.

В слое на расстоянии z от срединной поверхности действуют напряжения (рис. 16.13), создающие усилия и моменты (на единицу длины сечения):

Уравнения упругости.

Напряжения и деформации связаны следующими соотношениями упругости:

(79)

где — модуль упругости и коэффициент Пуассона, — коэффициент линейного расширения, Т — температура.

Из уравнений (79) и (80) следует, что

В дальнейшем для упрощения будем пренебрегать температурной деформацией, полагая .

Рис. 16.13. Усилие и моменты на единицу длины сечений оболочки

Учитывая соотношения (76) и (77), находим

Подставляя величины из соотношений (81) и (82) в (78), получим

где

Величина D называется цилиндрической жесткостью. По физическому смыслу она представляет жесткость на изгиб полоски, ширина которой единица, а высота h (множитель связан с плоской деформацией).

Равенства (85) и (86) позволяют выразить деформации срединной поверхности через усилия

Уравнения равновесия.

Рассмотрим равновесие элемента оболочки (рис. 16.14).

Рис. 16.14. Условие равновесия элемента оболочки

Будем считать, что к срединной поверхности приложены внешние распределенные нагрузки (на единицу площади) . Проектируя силы на направление осей х и z, находим

Условие равновесия для моментов прйводит к соотношению, которое встречается при изгибе стержней:

Дифференцируя уравнение (94) но а: и принимая во внимание зависимость (93), находим

Замечание. Следует помнить, что усилия и моменты в уравнениях равновесия относятся к единице длины соответствующих сечений.

Разрешающее дифференциальное уравнение. Оно получается из уравнения равновесия (95), если выразить силовые факторы через прогиб срединной поверхности . Замечая, что из соотношения (91) следует

и используя зависимость (87), находим из уравнения (95) разрешающее уравнение

Для оболочки постоянной толщины с постоянными параметрами упругости разрешающее уравнение будет таким:

где

или

При обычном значении коэффициента Пуассона имеем

(100)

Уравнение осесимметричной деформации цилиндрической оболочки (102) совпадает с уравнением изгиба балки на упругом основании (разд. 49). Такое совпадение имеет физическую основу. Рассматривая изгиб полоски единичной толщины, выделенной из оболочки (рис. 16.15), замечаем, что окружные усилия дают составляющую в плоскости изгиба (уравнение (95)). Эта составляющая оказывается связанной с величиной прогиба (соотношение (96)), и ее действие эквивалентно упругому основанию.

Рис. 16.15. Изгиб балки-полоски единичной ширины» выделенной из цилиндрической оболочки

Напряжения в сечениях оболочки.

Если известно значение прогиба оболочки то силовые факторы определяются равенствами (87), (88) и (96). Осевое усилие (на единицу длины) равно

где N — осевое усилие, действующее на оболочку.

Перерезывающее усилие Q (на единицу длины), находится из соотношений (94) и (87).

В поперечном сечении оболочки нормальные напряжения распределяются по толщине стенки линейно (рис. 16.16):

В продольном (меридиональном) сечении

Отметим (см. соотношения (87) и (88)), что

Рис. 16.16. Силовые факторы и напряжения в сечениях оболочки

Касательные напряжения существуют только в поперечном сечении и распределяются, так же, как в стержне прямоугольного сечения;

Длинные оболочки. Цилиндрическая оболочка называется длинной, если

где l — длина оболочки.

Решение уравнения (98) для длинной оболочки следует принять в виде

(108)

где — произвольные постоянные, определяемые из условий закрепления оболочки, - частное решение уравнения (98).

Дифференцируя равенство (108), получаем следующие зависимости (штрих означает производную по х):

Рис. 16.17. Длинная оболочка под действием внутреннего давления; I, II — зоны краевого эффекта

Из структуры решения (108) видно, что первая часть, зависящая от условий закрепления при имеет множитель и по мере возрастания х затухает (при ею можно пренебречь). Таким образом, в зоне закрепления оболочки имеется краевой эффект. Решение (108) описывает прогибы оболочки возле края . Для определения прогибов возле края оболочки используется то же решение, но для координаты

Рассмотрим в качестве примера цилиндрическую оболочку под действием внутреннего давления q (рис. 16.17). Края оболочки приварены к жестким диафрагмам. Считая радиус внутренней поверхности оболочки приближенно равным радиусу срединной поверхности, получим

осевое усилие

Частное решение уравнения (98) будет постоянной величиной:

или

Легко понять физический смысл частного решения. В оболочке, свободной от закрепления, под действием внутреннего давления q создаются окружные напряжения

При действии осевого усилия напряжения в поперечном сечении

Деформация, а окружном направлении

Следовательно, частное решение (115) представляет прогиб (перемещение) срединной поверхности оболочки, свободной от закрепления, под действием внешней нагрузки. Произвольные постоянные найдем из условий при

Из уравнения (108) и (109) получаем

Для прогиба оболочки приходим к следующему равенству:

Изгибающий момент (на единицу длины) найдем из соотношений (110):

Осевое усилие постоянно по длине:

Окружное усилие определяется по формуле (96):

При можно считать, что

т. е. влияние закрепления оболочки не сказывается. Расчетные соотношения справедливы и для края если расстояние х отсчитывать от этого края (замена х на ). Модель прочности оболочки содержит раздельную оценку общих и местных напряжений (напряжений в зоне краевого эффекта). Условие прочности по общим напряжениям имеет вид

где — предел прочности материала, — допускаемое значение запаса по общим напряжениям. Условие прочности для местных напряжений (в сечениях )

где - допускаемое значение запаса по местным напряжениям; — наибольшие напряжения в оболочке при (см. уравнения (103) и {104));

обычно принимается

Меньшее значение допускается потому, что за счет появления пластических деформаций изгибные напряжения уменьшаются.

Замечания. 1. Для оболочек из хрупких материалов следует принимать

2. Модель прочности учитывает однократное статическое нагружение. При повторных (циклических) нагружениях роль местных напряжений возрастает.