34. Прогибы стержней
Вводные замечания.
Во многих случаях важно обеспечить не только прочность стержней, но и отсутствие значительных прогибов под нагрузкой. Прогибы вала, несущего шестерню, могут нарушить правильность зацепления. Прогибы вала турбины могут привести к недопустимому касанию лопаток о корпус и т. п.
Рассмотрение прогибов стержня весьма важно в задачах устойчивости колебания и в ряде других задач. Наконец, расчет прогибов необходим для решения статически неопредилимых задач, когда изгибающий момент в сечении заранее неизвестен. Оставляя пока в стороне статически неопределимые условия закрепления, изучим сначала прогибы стержня, считая силовые факторы в сечении стержня известными.
Параметры деформации и их физический смысл.
Рассмотрим изгиб стержня в главной плоскости 
(рис. 8.59).
По гипотезе плоских сечений (см. уравнение (2) гл. 2) деформация в точках поперечного сечения стержня
Для параметров деформации 
и 
были установлены следующие зависимости для равномерно нагретого стержня (уравнения (14) гл. 2):
где 
— соответственно площадь и момент инерции поперечного сечения стержня.
Рис. 8.59. Связь прогибов 
стержня 
и углов поворотов 
сечений (положительное направление поворота сечения показано на рис. 8.4)
Как известно, гипотеза плоских сечений предполагает, что сечение стержня остается после деформации плоским. Второе важное допущение — будем пренебрегать деформациями сдвига. Тогда плоскость поперечного сечения останется перпендикулярной изогнутой оси стержня после деформации.
Ось стержня — геометрическое место центров тяжестей сечения — в деформированном состоянии показана на рис. 8.59. Прогибы стержня в плоскости 
обозначены 
Ось стержня в деформированном состоянии часто называют упругой линией стержня.
Физический смысл параметра деформации 
ясен; его величина представляет удлинение оси стержня. Сечение стержня как жесткая пластинка составляет угол 
с касательной к оси стержня. Учитывая положительное направление отсчета, принятое для угла 
следует записать
(224)
Если углы поворота малы, то
Угол поворота сечения равен (по величине) производной от функции прогиба стержня.
Дифференцируя равенство (255), находим
Параметр пзгпбнои деформации при малых углах поворота сечения равен (по величине) второй производной прогиба.
Замечание. Допущение об отсутствии сдвига существенно упрощает картину деформации стержпя при изгибе. Стержень можно представить в виде проволоки (ось стержня), к которой припаяны жесткие пластинки (поперечные сечения). Прогибы оси стержпя и ее растяжение полностью определяют изменение расстояний, а следовательно, и деформации во всех точках стержня.
Рис. 8.60. Геометрическая интерпретация изгибной деформации
