Стержни большой кривизны. Нормальные напряжения.

Рассмотрим стержень с плоской криволинейной осью, причем плоскость симметрии поперечного сечения лежит в той же плоскости (рис. 15.14). Начало местной системы координат помещается в приведенном центре тяжести сечения, отстоящем на расстояние от центра тяжести сечения; величина определяется в дальнейшем. Ось стержня представляет геометрическое место приведенных центров тяжести сечений; радиус кривизны оси стержня обозначен , элемент дуги .

Приближенная теория стержней большой кривизны основана на гипотезе плоских сечений.

Перемещения точек поперечного сечения вдоль оси стержня

где — перемещение точки лежащей на оси стержня; - угол поворота сечения.

Рис. 15.14. Стержпи большой кривизны. Перемещения по гипотезе плоских сечений

Приращение перемещения

Относя величину к первоначальной длине отрезка, найдем

где — длина дуги на расстоянии

Учитывая соотношение (78), получим

Считая напряженное состояние одноосным (гипотеза ненадавливания), получигм при упругих деформациях или

где — температурная деформация.

Из условий равновесия имеем

Учитывая соотношения (80), (81) и (82), получим систему двух уравнений относительно параметров деформации:

Определим положение начала координат (центра сопротивления) из условия

Из соотношений (83) и (84) находим параметры деформации и и по равенству (80) получаем

где жесткости сечений на растяжение и изгиб равны соответственно

Учитывая соотношение (52), запишем

Первая группа членов в формуле (86) выражает напряжения в криволинейном стержне от внешних сил.

Обычное (линейное) распределение напряжений в прямом стержне содержит множитель , приводящий к увеличению напряжений при (на более близких к центру кривизны волокнах). Вторая группа членов дает температурные напряжения.

Замечание. Характерной чертой, преобразований в теории криволинейного стержня является использование равенства (85). В частности, при выводе формулы (89) к исходному интегралу был добавлен нулевой член.