Свойства парности касательных напряжений.

Так как элемент тела находится в равновесии, то сумма моментов всех сил относительно любой оси должна обращаться в нуль. Как известно из теоретической механики, для равновесия достаточно выполнения этих условий относительно любых трех осей, не лежащих в одной плоскости (три составляющие вектора главного момента обращаются в нуль).

Рассмотрим условия равновесия моментов. Силы, распределенные по граням параллелепипеда, будем заменять равнодействующими, приложенными в центре грани (см. рис. 2.9). Строго говоря, последнее допущение не обязательно, и можно показать, что учет изменения напряжений в пределах бесконечно малой грани дает добавки более высокого порядка малости. Последнее относится и к массовым распределенным усилиям, которые будем считать приложенными в центре тяжести элемента (составляющие массовой силы обозначаются X, У, Z).

Рассмотрим сумму моментов относительно оси х. Отличные от нуля моменты дают векторы (верхняя грань) и (задняя грань):

где — плотность материала.

Два последних слагаемых в левой части уравнения (11) можно отбросить, так как они имеют более высокий порядок малости.

В результате получим

Подобным образом получаем три условия парности касательных напряжений:

Общий вывод таков: касательные напряжения в точке, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам, одинаковы. Взаимно перпендикулярные площадки всегда имеют общее ребро. Касательные напряжения в силу свойства парности направлены оба вместе или к ребру, или от ребра. Принятое ранее правило знаков для касательных напряжений (см. рис. 2.9 и 2.10) обеспечивает выполнение указанного условия.

Свойство парности касательных напряжений справедливо для взаимно перпендикулярных площадок элементарного объема в любой ортогональной системе координат, например в цилиндрической.

Замечания. 1. При выводе уравнения (11) учитывалось направление векторов напряжений по рис. 2.9 и соответствующим образом определялся знак момента (положительное направление — вращение против часовой стрелки). Выводы уравнений с помощью чертежа (рисунка) будут часто встречаться в дальнейшем.

2. Вывод одного из трех уравнений (13) позволяет записать два недостающих с помощью правила круговой перестановки индексов. Иллюстрация правила дана на рис. 2.11: при круговой перестановке индекс х замещается индексом у, индекс у замещается z, а последний — снова индексом х. Например, подобным образом из условия (12) могут быть получены все соотношения (13).

Рис. 2.11. Иллюстрация правила перестановки индексов

Правило круговой перестановки индексов применяется во многих разделах механики сплошной среды (гидродинамике, теории упругости и др.) во всех случаях, когда векторные соотношения записываются с помощью трех скалярных в прямоугольной (декартовой) системе координат.