Интегральное уравнение устойчивости стержня.

Рассмотрим стержень переменного сечения под действием распределенных и сосредоточенных усилий (рис. 12.40).

Изгибающий момент в сечении

где функция Хевисайда

К стержню в сечениях приложены сжимающие усилия . Изгибающий момент от силы в сечении появляется при что и учитывается с помощью функции Хевисайда.

Интегрируя дважды в пределах от 0 до уравнение (163) и учитывая краевые условия находим

Подставляя значение в уравнение (213), получаем однородное интегральное уравнение относительно изгибающего момента

где оператор равен

Уравнение устойчивости (215) позволяет определить значения усилий и распределенной нагрузки приводящие к потере устойчивости. Будем считать, что относительные значения нагрузок известны, например, по отношению к

Тогда в критическом состоянии получим

где оператор равен

где значения h и известны. Уравнение (219) пригодно и для случая, когда некоторые усилия являются растягивающими. Они вводятся в уравнение со знаком минус .

Уравнение (218) решается методом последовательных прибли-» жений. В первом приближении полагают

Приравнивая последующее и исходное приближения при находим

и т. д.

Пример. Рассмотрим устойчивость консольного стержня постоянного сечения под действием усилия (см. рис. 12.35).

Оператор КМх (уравнение (219)) для рассматриваемого случая равен

Значение при условии (220) равно

или

Первое приближение дает

Точное значение равно