ГЛАВА 7. КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ

Вводные замечания.

Элементы конструкции, как уже указывалось, часто схематизируются в виде стержней. Такая модель формы используется и для расчета валов, передающих крутящий момент. Примерами являются валы, приводящие в движение воздушные винты или лопасти вертолета; валы редукторов, станков и т. п.

Работа стержней на кручение встречается во многих других элементах конструкций.

26. Кручение круглых валов

Деформации и напряжения при кручении круглого вала.

Экспериментально установлено, что при кручении круглого вала (рис. 7.1) приложенным на его торце крутящим моментом поперечные сечения остаются плоскими (рис. 7.2).

Рис. 7.1. Кручение круглого вала

Рис. 7.2. Кручение модели вала с предварительно нанесенной сеткой

Можно считать, что поперечные сечения как жесткие круглые диски поворачиваются относительно оси вала на угол .

Образующие, расположенные на цилиндрической поверхности радиусом , поворачиваются на угол постоянный по длине цилиндра (вала). Для малых углов

где — угол закрутки на единицу длины вала; при измерении угла в радианах угол измеряется в единицах . Угол поворота в сечении

Из последнего соотношения можно установить, что

Рассмотрим перемещения и деформации в произвольной точке поперечного сечения А, лежащей на расстоянии от оси вала (рис. 7.3). Перемещение точки равно и направлено перпендикулярно радиусу. В кольцевом слое толщиной возникает деформация сдвига (рис. 7.4)

По закону упругости углу сдвига соответствует касательное напряжение (разд. 18)

где G — модуль сдвига,

Учитывая (4), находим важную зависимость:

Касательное напряжение направлено по касательной к окружности радиусом . Величина касательного напряжения пропорциональна радиусу (рис. 7.5).

Рис. 7.3. Картина перемещений точек вала при кручении

Рис. 7.4 Деформация сдвига в кольцевом слое

Рис. 7.5. Распределение касательных напряжений при кручении

Из общих условий равновесия следует, что касательные усилия должны создавать крутящий момент

где — полярный момент инерции сечения вала. Величину полярного момента легко вычислить, приняв

тогда

Из соотношения (6) получаем формулу для относительного угла закрутки

Величина называется жесткостью (сечения) вала на кручение. Угол поворота сечения вала

Взаимпый поворот сечений на участке вала длиной I

Внося значение в формулу (5), находим важную расчетную зависимость:

Наибольшее касательное напряжение получается на внешнем радиусе

Величина

называется моментом сопротивления кручению; таким образом,

Анализ решения методами теории упругости.

Полученное решение о распределении напряжений и деформаций при кручении вала основывалось на экспериментальных наблюдениях. Попробуем подвергнуть его анализу с позиции общих уравнении механики деформируемого тела. В соответствии с принятой моделью деформации вала перемещение точки , равное (рис. 7.6), имеет составляющие по осям

Рис. 7.6. Кручение круглого вала. Расчет методом теории упругости

Перемещение вдоль оси z отсутствует . Составляющие касательного напряжения равны

Полное касательное напряжение

что совпадает с равенством (5). Можно показать, что при удовлетворяются уравнения равновесия и краевые условия на боковых поверхностях вала. Принятую модель деформации круглого вала следует признать точной.

Замечания. 1. Предполагается, что в концевых сечениях вала внешний крутящий момент реализуется в виде линейно распределенных касательных напряжений (см. рис. 7.5). В действительности момент обычно прикладывается по-другому (например, с помощью шлицевого соединения (рис. 7.7)), и поэтому по принципу Сен-Венана решение будет справедливым на некотором удалении от торцов.

Рис. 7.7. Передача крутящего момента на вал с помощью шлицевого соединения

Более строго следовало бы сказать, что решение является точным для неконцевых областей вала.

2. Граница между понятиями «точного» и «приближенного» решения в применении к практическим задачам часто носит условный характер. Например, можно получить точное решение для весьма приближенной модели (расчетной схемы) или приближенное решение для более точной модели. Что лучше для практических, целей? Однозначного ответа на этот вопрос не существует.

На основании практического опыта вырабатываются модели различных уровней, используемые на разных этапах проектирования (предварительный выбор размеров на стадии технического предложения, более точные модели на этапах эскизного и рабочего проектирования).