30. Упруго-геометрические характеристики сечения стержня при изгибе. Главные оси, главные моменты инерции
Упруго-геометрические характеристики. При определении напряжений изгиба и растяжения (по формуле (17)), температурных напряжений (по формуле (22)) необходимо знать упруго-геометрические характеристики сечения стержня: жесткость при растяжении
жесткость при изгибе относительно главной оси х
жесткость при изгибе относительно главной оси у
Главные оси сечения проходят через приведенный центр тяжести сечения, и для главных осей координат выполняются условия
жесткости 
называются упруго-геометрическими характеристиками сечения при изгибе.
При постоянном (в точках сечения) модуле упругости
где F — площадь поперечного сечения; 
— осевые (экваториальные) моменты инерции сечения относительно осей х и у соответственно. Величины 
называются геометрическими характеристиками сечения, так как они определяются только геометрической конфигурацией сечения. Упруго-геометрические характеристики зависят также от распределения модуля упругости по сечению.
Определение приведенного центра тяжести сечения.
Для определения приведенного центра тяжести сечения выберем произвольным образом вспомогательную систему координат
(рис. 8.11).
Рис. 8.11. Определение центра тяжести сечения (точки 0).
Пусть точка 
— приведенный центр тяжести. Во вспомогательной системе его координатами будут 
Если оси 
параллельные осям 
проходят через приведенный центр тяжести, то статические моменты сечения относительно указанных осей обращаются в нуль:
В последних равенствах Е — модуль упругости в данной точке сечения 
Отметим, что 
всегда считается положительным 
. Из рис. 8.11 следует, что
Теперь из равенств (35) находим
Координаты приведенного центра тяжести определяются зависимостями
При постоянном модуле упругости получаем значения координат центра тяжести, известные из курса теоретической механики:
Отметим, что если какая-либо ось является осью симметрии сечения, то центр тяжести сечения обязательно лежит на этой оси Для приведенного центра тяжести это справедливо, если распределение модуля упругости симметрично относительно указанной оси. При двух осях симметрии центр тяжести сечения лежит на их пересечении.
Замечание. Если статический момент относительно какой-либо оси равен нулю, то ось проходит через центр тяжести сечения. Доказательство основано на том, что по определению центр тяжести удовлетворяет условиям (36). Но если статический момент обращается в нуль для двух осей, то он равен нулю и для любой оси, проходящей через точку пересечения этих осей (докажите!).
Пример определения приведенного центра тяжести.
Рассмотрим биметаллический стержень прямоугольного сечения (рис. 8.12) и выберем начало вспомогательной системы координат в левом нижнем углу.
Рис. 8.12. Определение приведенного центра тяжести для биметаллического стержня прямоугольного сечения
Так как сечение имеет ось симметрии, то 
Величину 
определяем по формуле (39). Предварительно вычислим жесткость при растяжении и жесткость при изгибе
Далее находим
При одинаковых значениях модулей упругости 
получаем 
.
