50. Криволинейные стержни и пружины

Вводные замечания. В ряде случаев элементы конструкций могут рассматриваться как стержни с криволинейной осыо (кольца, пружины и т. п.). Ось стержня — геометрическое место центров тяжести сечений — представляет пространственную кривую (рис. 15.8).

Рис. 15.8. Стержень с криволинейной осью

В дальнейшем основное, внимание уделяется стержням с криволинейной осыо, лежащей в одной плоскости, т. е. когда ось стержня является плоской кривой.

В центре тяжести поперечного сечения помещается местпая система координат; ось направлена вдоль касательной к оси стержня, оси — главные оси сечения.

Внешние силы приводятся к главному вектору Q и главному моменту М:

где — единичные векторы по осям . В равенствах (30) — перерезывающие и нормальные усилия; — изгибающие в крутящий моменты.

Важньш параметром, характеризующим криволинейный стержень, является радиус кривизны оси стержня (рис. 15.8). В зависимости от отношения

где — радиус кривизны стержня, b — наибольший размер сечения вдоль радиуса кривизпы, криволинейные стержни разделяются на стержни малой кривизны и стержни большой кривизны .

Для стержней малой кривизны при определении напряжений и параметров деформации могут использоваться формулы для прямолинейных стержней (разд. 31).

Для стержпей большой кривизны требуется учесть дополнительные факторы, которые будут рассмотрены в дальнейшем.

Винтовые пружины.

Наибольшее распространение в различных областях техники имеют винтовые пружины, которые обычно могут рассматриваться как стержни малой кривизны; винтовые пружины изготавливаются чаще всего путем навивки на цилиндрическую оправку проволоки диаметром от до мм и выше (рис. 15.9).

Диаметр цилиндрической поверхности, содержащей центры тяжести сечений (средний диаметр), обозначен (рис. 15.9), диаметр проволоки d, шаг навивки ось стержня является винтовой линией с углом подъема :

В большинстве случаев угол — малая величина . Наибольшее распространение получили пружины, работающие на сжатие (рис. 15.9) (клапанные пружины, пружинные рессоры и т. п.); через тарелки или торцевые плоскости передается усилие Р, действующее вдоль оси пружины.

Рис. 15.9. Расчетная схема витой пружины: а — конструктивная схема; б — силовые факторы в сечении пружины

В поперечном сечении создается крутящий момент

так как . Изгибающим моментом в сечении при малых углах можно пренебречь.

Важным геометрическим параметром витой пружины является ее индекс с;

где — средний диаметр пружины, d — диаметр проволоки.

Для пружин большого индекса распределение касательных напряжений при действии крутящего момента такое же, как при кручении прямого вала (рис. 15.10, а):

Перерезывающая сила в сечении дает касательные напряжения среза, приближенно равные (рис. 15.10, б)

Максимальное касательное напряжение находится в точке поперечного сечения, ближайшей к оси пружины (точка А на рис. 15.10):

Разрушение пружин обычно начинается в точке А, где напряжения наибольшие.

В общем случае максимальное касательное напряжение равно

где — коэффициент концентрации напряжений на внутреннем волокне пружины (в точке А).

Рис. 15.10. Касательные напряжения кручения и среза в сечении пружины

Приближенно можно принять, что при кручении касательные напряжения на внутреннем волокне возрастают пропорционально отношению радиусов винтовых линий:

Такое предположение основано на том, что при кручении сечение стержня остается неизменным, а углы сдвига и касательные напряжения изменяются обратно пропорционально длинам винтовых линий. Коэффициент концентрации касательных напряжений равен

При уменьшении индекса с величина возрастает.

Для определения осадки пружины (сближения точек приложения усилий Р) найдем величину потенциальной энергии деформации!

В качестве длины стержня принимают

где — число рабочих витков.

Для передачи осевого усилия на пружину витки на концах пружины поджимаются при навивке и сошлифовываются для получения опорпой плоскости (рис. 15.9). Обычно принимается число рабочих витков

где — число концевых витков.

Учитывая, что

и принимая получаем из соотношения (40)

Потенциальная энергия деформации равна работе внешней силы (закон сохранения энергии)

где — осадка пружины. Из уравнений (43) и (44) находим

Вторым слагаемым практически можно пренебречь; тогда

где

— осадка одного витка.

Рис. 15.11. Связь осадки пружины и действующего усилия Р

Формулы (38) и (46) являются основными для расчета пружин. Связь осадки пружины и действующего усилия Р показана на рис. 15.11. Усилие предварительной затяжки (осадки) принимается в зависимости от назначения пружины в пределах

где — максимальная нагрузка на пружину. Величина представляет наибольшую допустимую нагрузку по условиям статической прочности. При осадке пружины бпос происходит соприкосновение витков и удар. Необходимо выполнение очевидного условия

(49)

Из этого условия назначается шаг пружины (в свободном состоянии)

где — осадка при допустимой (статической) нагрузке; — число рабочих витков; — коэффициент, гарантирующий зазор между витками при наибольшей нагрузке.