Главные площадки и главные напряжения при объемном напряженном состоянии.

Пусть косая площадка (рис. 2.24) является главной. Тогда полное напряжение в площадке совпадает с нормальным напряжением, касательное напряжение отсутствует. Для главной площадки

где .

Теперь из (55) — (57) получаем систему линейных однородных уравнений:

Основными неизвестными в этой системе являются величины , характеризующие положение главной площадки. Они связаны соотношением

так как являются проекциями на оси х, у, z единичного вектора нормали

Рис. 2.24. Определение главных площадок и главных напряжений

В силу равенства (64) величины не могут все одновременно быть равными нулю.

Из линейной алгебры известно, что однородная система уравнений может обладать ненулевым решением только в том случае, когда детерминант системы обращается в нуль:

Развертывая рпределитель и учитывая свойства парности касательных напряжений, находим

Последнее уравнение представляет уравнение третьей степени относительно , которое запишем в виде

Уравнение (67) называется характеристическим уравнением напряженного состояния. Корни характеристического уравнения (значения ) представляют величины главных напряжений.

В частном случае плоского напряженного состояния оно соответствует уравнению (34). Для плоского напряженного состояния коэффициент и один из корней характеристического уравнения равен нулю, т. е. одно из главных напряжений обращается в нуль.

В случае линейного напряженного состояния два главных напряжения равны нулю, и, следовательно, в уравнении (67) должно быть .

В общем случае характеристическое уравнение (67) имеет три действительных корня: — три главных напряжения.

Внося значения в любые два уравнения (63) и присоединяя уравнение (64), получаем систему уравнений для определения значений определяющих положение главной площадки с напряжением . Подобным образом находятся направляющие косинусы двух других главных площадок.

Корни уравнения (67) могут быть найдены по точным формулам для решения кубических уравнений (формулам Кардано). Во многих случаях удобно воспользоваться численным методом Ньютона, представив уравнение (67) в виде

Если приближение для значения корня, то следующее приближение

производная

Схема численного решения показана на рис. 2.25. Для выбора исходного приближения полезно предварительно определить приближенно области перемены знака функции .

Рис. 2.25. Схема численного решения характеристического уравнения методом Ньютона

Расчет по формуле (72) заканчивается, когда исходное и последующее приближения достаточны близки.