Формулы Коши для линейных деформаций.
Линейная деформация в точке 
в направлении оси х будет равна
Из аналитической геометрии известно, что расстояние I между двумя точками с координатами 
равно
Применяя эту формулу для определения длины отрезка АВ, получим
Учитывая, что 
находим из равенства (7)
Рассмотрим теперь случай малой деформации, когда
Вспоминая, что при 
из соотношения (8) находим
Членами, стоящими в квадратных скобках, при малых деформациях (условие (9)) допустимо пренебречь, и тогда
Соотношение (11), которое представляет первую формулу Коши можно получить сразу, если воспользоваться правилом, справедливым при малых деформациях: для определения линейной деформации в заданном направлении достаточно рассмотреть проекции перемещения точек на заданное направление. Иными словами, для определения малой деформации вдоль оси х достаточно принять во внимание только составляющие перемещения по оси х.
Рис. 3.6. Определение малой деформации 
На рис. 3.6 показаны проекции точек А и В на направление АВ, параллельное оси х. Отрезок 
равен 
, а 
. Малая деформация в точке А в направлении оси х равна
Аналогичным образом можно найти следующие зависимости:
Соотношения (11) — (13) составляют три первые формулы Коши.
Формулы Коши для угловых деформаций. Рассмотрим определение деформации сдвига в точке А (рис. 3.7) в плоскости, параллельной плоскости 
. Для этого проследим за изменением угла между отрезками АВ и АС, составляющими первоначально прямой угол. Длина отрезков до деформации составляет 
. Предполагая деформации малыми, достаточно рассмотреть проекции перемещений на плоскость 
(условно считая 
).
Проекции отрезка 
на оси х и у будут 
Далее, находим
так как 
.
Проекции отрезка 
на оси х и у соответственно равны
Рис. 3.7. Определение деформации сдвига в точке А в плоскости 
Аналогичным образом можно получить
Формулы (14)—(16) представляют формулы Коши для малых деформаций сдвига.
Сводка результатов. При малых деформациях, когда производные перемещений по координатам значительно меньше единицы, связь перемещений и деформаций выражается формулами Коши
