Следствия вариационного уравнения. Теорема Кастильяно.

Пусть на малом участке поверхности приложена сила Р, вектор которой составляет углы с осями координат (рис. 9.24). Косинусы углов (направляющие косинусы):

Рис. 9.24. К доказательству теоремы Кастильяно

Рассматривая сосредоточенную силу как распределенную нагрузку на малом участке, будем иметь следующие компоненты поверхностной нагрузки:

Проводя вариацию этих компонент нагрузки, получим

Предполагая, что варьируется только сила Р, получим из вариационного уравнения (139)

где - проекция полного перемещения точки приложения силы на направление ее действия.

Приращение потенциальной энергии деформации вызвано приращением усилия и потому

Теперь из равенств (144) и (145) получаем

Равенство (146) составляет теорему Кастильяно.

Частная производная потенциальной энергии деформации по силе равна проекции полного перемещения точки приложения силы на направление ее действия.

Замечания. 1. Вполне естественно, что по теореме Кастильяно определяется только проекция перемещения точки приложения силы на направление силы, а не полное перемещение. Это вытекает из того, что вариационное уравнение содержит работу вариации силы (скалярное произведение перемещения и силы).

По условия (143) вариация силы происходит в направлении ее действия.

2. Величина определяется не только усилием Р, величина которого варьировалась, а всеми приложенными к телу нагрузками (проекция действительного перемещения точки А на направление усилия Р). Все другие нагрузки влияют на величину потенциальной энергии деформации и ее частной производной по Р.

3. Теорема Кастильяно при наличии пластических деформаций выражается следующим образом:

Элементарные доказательства теоремы Кастильяно.

Рассмотрим в качестве примера упругой системы балку, нагруженную силами Р и Q (рис. 9.25).

Рис. 9.25. К доказательству теоремы Кастильяно элементарным способом

Прогибы в точках приложения сил Р и Q обозначены . Считая для упругих систем действие сил независимым, можно записать

где — перемещение в точке А от единичной силы в точке — перемещение в точке А от единичной силы в точке В.

Будем считать, что потенциальная энергия деформации не зависит от порядка приложения нагрузок и определяется работой внешних сил.

Пусть к балке сначала приложена только сила Р. Она совершит работу

Во втором нагружении статически прикладывается сила Q, причем сила Р в процессе второго нагружения остается постоянной. Работа внешних сил при втором нагружении

Потенциальная энергия системы после двух нагружений

Дифференцируя по Р, находим

что и составляет теорему Кастильяно. Существенно, что перемещения от единичных сил зависят только от геометрических размеров системы и модуля упругости и не зависят от внешних усилий (в пределах упругости материала) — при дифференцировании они должны рассматриваться как постоянные.

Замечание. Можно привести несколько других элементарных доказательств теоремы Кастильяно, но всегда используется прием двух нагружений: независимость результата от порядка приложения нагрузок. Во всех доказательствах не рассматриваются другие порядки нагружения, так как они требуют привлечения теоремы взаимности. Однако элементарные доказательства всегда привлекательны — в них более четко выступает физическая сущность вопроса.

Примеры применения теоремы Кастильяно. 1. Прогиб консольного стержня при действии, силы на конце стержня (рис. 9.26).

Рис. 9.26. Определение прогиба стержня с помощью теоремы Кастильяно

Рис. 9.27. Определение прогиба в произвольной точке стержня по теореме Кастильяно (способ фиктивной силы)

Для определения прогиба в точке А составляем выражение потенциальной энергии деформации:

По теореме Кастильяно имеем

что соответствует ранее полученным результатам.

2. Определение прогиба в произвольной точке стержня (рис. 9.27). К стержню приложен момент М, и требуется определить прогиб в точке А. Для этого приложим в этой точке А силу Ф, применим теорему Кастильяно, но в окончательном результате положим .

Потепциальная энергия деформации стержня (по участкам) равна

Далее находим

Прогиб в точке А получаем при Ф = 0:

В рассматриваемом случае результат можно получить проще, если провести дифференцирование под знаком интеграла и положить . Тогда получаем

Знак минус показывает, что прогиб направлен противоположно силе Ф.

3. Определение перемещения фермы в точке приложения нагрузки (рис.

9.28). Определяем усилия в стержнях по условиям равновесия

Из этих равенств получаем

Потенциальная энергия деформации системы

Перемещение точки А в направлении действия силы Р по теореме Кастильяно равно

Замечание. В рассматриваемом примере очевидна эффективность метода вариации напряжений (усилий) при определении перемещений в сложных системах. Решение задачи на основании геометрических соображений значительно труднее.

Рис. 9.28. Определение перемещений фермы с помощью теории Кастильяно