Уравнение упругой линии стержня при изгибе в двух главных плоскостях.

Как уже указывалось, если нагрузки действуют в плоскости, совпадающей с одной из главных, то стержень испытывает плоский изгиб.

В этом случае упругая линия стержня является плоской кривой.

Однако часто нагрузки действуют не в главной плоскости пли даже не в одной плоскости либо стержень обладает начальной закруткой (воздушные винты и др.) — все это приводит к задачам пространственного изгиба стержня.

На рис. 8.74 рассматриваются изгиб и растяжение лопатки турбины. Главные оси сечения х, у повернуты относительно осей конструкции на угол (ось х) направлена вдоль оси вращения, ось z — вдоль оси лопатки в радиальном направлении).

Рис. 8.74. Изгиб стержня в двух главных плоскостях : а — изгиб лопатки компрессора (изгибающие моменты изображаются векторами); б — правило изображения

В сечении z действуют растягивающее усилие N и изгибающие моменты На рис. 8.74 они изображены векторами, причем момент стремится осуществить поворот против часовой стрелки, если смотреть от конца вектора момента к его началу (правая система координат). Наиболее важное правило при исследовании пространственного изгиба состоит в следующем: изгибы в главных плоскостях можно рассматривать независимо друг от друга.

Изгибающий момент, действующий в главной плоскости (рис. 8.75),

По уравнению (237)

Изгибающий момент, осуществляющий изгиб в главной плоскости

Из уравнения (16) при отсутствии температурной деформации и при постоянном модуле упругости получаем

где — момент инерции сечения относительно оси у.

Рис. 8.75. Определение изгибающего момеита относительно главных осей

Рис. 8.76. Пространственная упругая линия стержня

Будем обозначать компоненты смещения центра тяжести сечения по осям х и у соответственно . Учитывая принятое правило знаков для углов поворота сечения (рис. 8.76) и считая их малыми, будем иметь

(Дайте объяснение, почему формулы (287) и (288) имеют в правых частях разные знаки!)

Из соотношений (285), (286) и (288) находим

В общем случае изгиба упругая линия является пространственной кривой — точки оси стержня получают смещения по направлениям х и у. Уравнения (284) и (289) определяют прогибы стержня в общем случае изгиба;

Напряжения в точках поперечного сечения стержня находягся по формуле (18):

Замечание. Приведенные уравнения пространственной упругой линии относятся к призматическим стержням. Если главные оси сечений имеют в начальном состоянии взаимный поворот (стержни с первоначальной закруткой: воздушные винты лопатки и т. п.), то уравнения (284) и (289) дают компоненты вектора кривизны, которые следует проектировать на общие оси .

Пример. Стержень прямоугольного сечения изгибается сплои Р и растягивается усилием N (рис. 8.77). Требуется найти напряжения в точках стержня перемещения точки приложения сил. Главные оси сечений — оси х, у.

Рис. 8.77. Пространственный изгиб стержпя

Изгибающие моменты в опасном сечении (т. е. в сечении, где имеются точки с наибольшими напряжениями) определим двумя способами. Сначала определим общий момент, модуль которого а проекции момента на оси х и у

Более просто в рассматриваемом примере разложить усилие Р на составляющие и найти значения . Напряжения в поперечном сечении

где — напряжение растяжения, распределенное равномерно по площади поперечного сечения; напряжения изгиба

В поперечном сечении существует линия, которая называется нейтральной, в точках которой напряжение изгиба равно нулю. Уравнение этой линии, проходящей через центр тяжести сечения, имеет вид

В рассматриваемом примере

Если то нейтральная линия перпендикулярна плоскости действия нагрузки.