10. Линейная деформация в произвольном направлении. Главные деформации, тензор деформаций

Линейная деформация в произвольном направлении.

Часто при исследовании деформаций, например с помощью проволочных тензометров (тензорезисторов), необходимо определять линейную деформацию в направлении, составляющем произвольный угол а с осью х.

Рассмотрим случай плоской деформации, когда перемещение вдоль оси z отсутствует (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Линейная деформация в произвольном направлении (при плоской деформации, w = 0)

Перейдем к определению линейной деформации вдоль прямой, проходящей через точку А. Прямая лежит в плоскости, параллельной плоскости и направлена под углом а к оси х. Направление характеризуется единичным вектором s. Рассмотрим отрезок (см. рис. 3.8), лежащий на указанном направлении.

Компоненты перемещения точки А в результате деформирования составляют , компоненты перемещения точки В

Так как теперь обе координаты точки 5 отличаются от координат точки А, то составляющие и и и получили приращения. Малая линейная деформация в направлении s будет равна

отрезок

где — направляющие косинусы направления s (проекции единичного вектора s на оси координат). Из соотношений (18) — (19) получаем

(21)

Так как

то

С учетом последних соотношений находим выражение для линейной деформации в направлении

или в силу зависимостей (11)

В другой форме имеем

Замечание. Последняя зависимость по своей структуре аналогична формуле для нормальных напряжений в направлении, составляющем угол а с осью (формула (17) гл. 2).

Если заменить на , то выражения для линейной деформации или нормальных напряжений в заданном направлении будут одинаковыми.

Рассмотрим теперь общий случай, когда направление s характеризуется направляющими косинусами и точка В имеет координаты .

Повторяя вывод уравнения (24) для пространственного случая, найдем

Учитывая равенства

получим

(25)