Метод переменных параметров упругости.

Уравнения пластичности, связывающие деформации и напряжения, при нелинейны. Если в пределах упругих деформаций увеличение напряжений в к раз вызывает такое же увеличение деформаций, то при появлении лластических деформаций пропорциональность нарушается. Нелинейность уравнений Генки — Ильюшина отчетливо проявляется в их записи в форме (79). Нелинейность физических уравнений теории пластичности создает большие трудности при решении практических задач (нарушается принцип независимости действия отдельных нагрузок и т. п.).

Метод переменных параметров упругости сводит решение задач деформационной теории пластичности к решению последовательности обычных задач упругости, что существенно облегчает расчеты.

Уравнения пластичности Генки — Ильюшина (зависимости (40)) спачала запишем формально в виде уравнений упругости. Например, соотношение

с учетом зависимости (33) будет таким:

Продолжая преобразования, представим уравнения пластичности в виде

Здесь переменные параметры упругости и равны

где E — модуль упругости, — коэффициент Пуассона (в упругой области), — параметр пластичности.

Параметры Е и называются переменными параметрами упругости, так как они зависят от напряженного состояния в точке (параметра пластичности ). В упругой области .

Для несжимаемого тела (коэффициент Пуассона )

Принимая в качестве обобщенной кривой деформирования кривую деформирования при растяжении, получим для параметра пластичности из соотношений (75) и (77) следующее выражение;

где — секущий модуль.

Теперь из соотношений (82), (83) и (86) вытекают основные формулы метода переменных параметров упругости:

Уравнения деформационной теории пластичности можно представить как уравнения теории упругости, если модуль упругости в них заменить секущим модулем (рис. 5.13). Менее существенной является поправка значения коэффициента Пуассона по формуле (88).

Замечание. Влияние коэффициента Пуассона на распределение напряжений обычно невелико, и часто проводят расчеты при т. е. для несжимаемого материала.

Использование простых равенств (87) и (88) не требует каких-либо предположений относительно величины коэффициента Пуассона.

Соотношения (87) и (88) можно получить более простым путем, если представить уравнения (79) в виде зависимости

что соответствует одной из форм закона Гука (см. уравнение (23)). Будем иметь

Используя эквивалентные значения находим

В силу соотношения (80) приходим к равенствам (87), (88).

Запись уравнений пластичности в форме уравнений упругости еще не продвигает дело, так как значения секущего модуля и коэффициента Пуассона заранее неизвестны. Решение задачи находят методом последовательных приближений.

Рис. 5.13. Схема расчета по методу переменных параметров упругости

В первом приближении (см. рис. 5.13) материал считается упругим и решается обычная задача упругости. В результате определяются интенсивность напряжений упругом теле и соответствующее значение эквивалентной деформации

По величине определяются по кривой деформирования величина и секущий модуль

Во втором приближении полагают

и снова решают задачу упругости при полученных значениях параметров упругости.

В результате получают значения и новое значение секущего модуля

Процесс считается законченным, если для приближения

где — принятая точность сходимости приближений, — принятая точность расчета.

В плоскости эквивалентных напряжений и деформаций (см. рис. 5.13) точки «упругого расчета» стремятся к кривой деформирования. Не останавливаясь на доказательстве сходимости процесса, отметим, что обычно необходимая точность достигается после нескольких приближений. Условия (91) гарантируют сходимость и точность решения.

На рис. 5.14 дана иллюстрация метода переменных параметров для простейшей задачи — определить деформацию при растяжении с заданным напряжением . Решение задачи соответствует пересечению линии с кривой деформирования. Последовательные приближения показаны точками

Рис. 5.14. Определение деформации растяжения при заданном напряжении по методу переменных параметров упругости

Замечание. Метод последовательных приближений является одним из наиболее общих математических методов. Для решения задачи разрабатывается процедура (алгоритм), при которой в каждом последующем шаге учитываются результаты предыдущего шага (предыдущего приближения). Метод является строгим, если доказаны сходимость последовательных приближений к точному решению и независимость результата от выбора исходного приближения.

В технических задачах доказательство сходимости, как правило, несущественно — ее наличие или отсутствие видно уже после первых шагов. Важно иметь возможность проверки правильности полученного результата.