Учет деформации сдвига при изгибе стержня.

Как уже указывалось, для коротких стержней и для стержней из материалов с небольшим сопротивлением сдвигу (композиционные материалы) перемещения, вызванные деформацией сдвига, оказываются соизмеримыми с перемещениями при деформации изгиба. Экспериментальные исследования и анализ точных решений показали, что деформации сдвига можно рассматривать независимо от деформации изгиба. На рис. 8.71 показана деформация сдвига консольного тержня под действием поперечной нагрузки Р.

Рис. 8.71. Деформация сдвига при поперечной нагрузке консольного стержня

Рис. 8.72. Перемещение и деформация сдвига элемента стержня при деформации сдвига

Сечения стержня получают перемещения вдоль оси у, взаимный поворот сечений отсутствует.

Деформацию сдвига на оси стержня между направлениями у, z при работе материала в упругой области можно принять следующей:

где G - модуль сдвига; площадь поперечного сечения; — перерезывающая сила в сечении; безразмерный коэффициент, учитывающий неравномерное распределение касательных напряжений при поперечном изгибе (рекомендации по определению величины будут даны ниже).

Перемещение и деформация сдвига элемента стержня показаны на рис. 8.72.

Кроме поступательного смещения на элемент может повернуться как жесткое целое на угол одинаковый для всех элементов стержня, так как взаимный поворот сечений отсутствует. Приращение прогиба, вызваниое деформацией сдвига на участке

откуда

Проинтегрировав обе части равенства в пределах от 0 до z, находим

где — соответственно прогиб, угол поворота сечения . Уравнение ( - основное уравнение для определения прогиба стержней в результате деформации сдвига.

Пример 1. Определить прогиб сдвига для консольного стержня под действием усилия Р (см. рис. 8.71). Перерезывающая сила в сечении стержня . По формуле (281) находим прогиб на конце (угол поворота сечения и прогиб при отсутствуют):

Прогиб конца стержня в результате изгиба, как было получено выше, равен

Отношение прогибов

Для прямоугольного сечения (h — высота сечения)

Касательное напряжение при изгибе стержня прямоугольного сечения на оси

деформация сдвига

Принимая получим для прямоугольного сечения

Для обычного конструкционного материала

где — коэффициент Пуассопа. Отношение прогибов сдвига и изгиба

При высоте сечения прогибы приблизительно одинаковы. При расчете на прочность зубьев шестерни, витков резьбы деформация сдвига должна обязательно учитываться.

Рис. 8.73. Определение прогиба сдвига двухопорной балки

Пример 2. Определить прогиб двухопорного стержня в результате деформации сдвига (рис. 8.73).

Реакции в опорах равны

Перерезывающая сила в сечении равна

По формуле (281) находим прогиб двухопорного стержня

Для стержня постоянного сечения

Из условия находим

Последний результат можно установить сразу, так как сечение не поворачивается вследствие, симметрии.

Окончательно получим

Замечание. Нельзя сделать вывод, что сечения стержня вообще не поворачиваются при деформации сдвига. Если, например, в задаче на рис. 8.73 половина балки имела бы другие размеры сечения, то . При наличии заделки или плоскости симметрии .