27. Общая задача кручения стержней и концентрация напряжений

Перемещения и деформации.

Рассмотрим кручение упругого стержня постоянного сечения под действием крутящего момента. Сечение стержня показано на рис. 7.14.

Рис. 7.14. Картина перемещений точек при кручении стержня

Допустим сначала, что общая картина перемещений остается такой же, как при кручении круглого вала: сечение стержня как жесткая пластинка поворачивается вокруг оси стержня, причем относительный угол закрутки остается постоянным по длине. Тогда точка сечения А на расстоянии от оси переходит в точку А, а сечение поворачивается на угол

где — угол поворота на единицу длины например — — постоянная величина.

Составляющие перемещения по осям z и у равны

Далее допустим, что перемещение вдоль оси z (оси стержня)

зависит от координаты .

При кручении круглого вала принималось общей задаче кручения существует перемещение, перпендикулярное плоскости поперечного сечения , которое называется депланацией.

С помощью формул Коши (разд. 9) находим следующие значения деформаций:

Напряжения, условия равновесия.

Так как линейные деформации равны нулю, то по уравнениям упругости (разд. 18) обращаются в нуль и нормальные напряжения:

Касательное напряжение также равно нулю. Отличными от нуля будут только касательные напряжения, действующие в плоскости поперечного сечения:

где G — модуль сдвига.

Перейдем к рассмотрению уравнений равновесия (разд. 7). Первые два уравнения удовлетворяются тождественно (массовые силы считаем отсутствующими), а из третьего уравнения вытекает

Учитывая соотношения (57) и (58), получаем

Из последнего уравнения следует важный результат: для того чтобы удовлетворились уравнения равновесия, осевое смещение не может быть произвольной функцией — оно должно удовлетворять уравнению Лапласа (уравнению (60)).

Замечание. Дифференциальное уравнение для функции двух переменных

называется уравнением Лапласа.

Уравнений Лапласа часто встречается в технических науках, в гидродинамике, теории теплопроводности и др. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими.

Краевые условия.

Рассмотрим теперь краевые условия для напряжений. Нормаль к боковой поверхности (рис. 7.15) образует с осями х, у, z углы соответственно Направляющие косинусы указанных углов

Считая боковую поверхность стержня свободной от распределенных усилий, получим из краевых условий (формула (103) гл. 2)

или

Последнее условие имеет следующий физический смысл. Величины представляют собой составляющие касательного напряжения в точке поперечного сечения по осям х и у. В точке А, лежащей на контуре поперечного сечения, составляющая полного касательного напряжения по направлению нормали

Краевое условие на боковой поверхности (условие (62)) означает, что в точках контура касательное напряжение направлено вдоль касательной к контуру, составляющая по нормали равна нулю. Соотношение (63) можно было написать сразу из условия парности касательных напряжений, так как на боковой поверхности касательные напряжения отсутствуют. Из равенства (62) возникают краевые условия для w(x, у). Внося в (62) соотношения (57) и (58), получаем

Рассмотрим теперь краевые условия на торцах стержня, где приложен крутящий момент. Точное распределение внешних касательных условий неизвестно — оно зависит от конструктивных особенностей конкретных способов передачи крутящего момента. Но при любом способе задания внешних распределенных усилий на торцах стержня они должны быть статически эквивалентными крутящему моменту

Краевые условия на торцевых поверхностях будем выполнять не в отдельных точках, а для всего сечения в целом:

Рис. 7.15. Краевые условия на боковой поверхности стержня

Последнее условие можно также рассматривать как условие равновесия участка стержня (рис. 7.16).

Рис. 7.16. Краевые условия на торцевой поверхности стержня

Замечание. Краевые условия, которые выполняются интегрально для главного вектора или главного момента внешних сил, называются краевыми условиями Сен-Вепана, по имени знаменитого французского ученого и инженера, впервые решившего задачи о кручении и изгибе стержней.

Отказ от строгого, пунктуального выполнения краевых условий во всех точках поверхности тела, использование интегрального краевого условия составили новый этап развития механики деформируемого тела. Существенно, что искажения напряженного состояния, вызванные различными способами передачи крутящего момента, при условии (66) распространяются только на области вблизи торцов стержня (принцип Сен-Венана).