Кручение стержня замкнутого профиля.

Рассмотрим приближенное решение задачи о кручении трубчатого тонкостенного стержня (рис. 7.29). Предположим, что касательные напряжения распределены равномерно по толщине стенки и направлены по касательной к средней линии профиля. Составим условие равновесия части стержня (рис. 7.29, б).

Рис. 7.29. Кручение трубчатого стержня (тонкостенного замкнутого профиля): а — сечение стержня; б — условия равновесия элемента стержня

Так как сумма всех сил в направлении оси стержня равна нулю, то

или

где - касательное напряжение, толщина стенки в точке А средней линии контура (положение точки А характеризуется длиной дуги , отсчитываемой от некоторой точки ).

Замечание. Исходя из гидродинамической аналогии, условие (115) означает, что «расход жидкости» одинаков во всех сечениях.

Момент касательных усилий относительно оси, проходящей через точку О, выражается следующим образом (рис. 7.29, а). На участке создается момент где плечо силы (длина перпендикуляра, опущенного точки О на касательную к средней линии контура); полный момент равен

Интеграл берется по всему контуру L. Учитывая равенство (115), находим

Так как где — площадь сектора, соответствующего дуге , то

где — площадь, ограниченная средней линией контура (рис. 7.30).

Из соотношений (116) и (117) вытекает

При кручении трубы замкнутого сечения максимальное касательное напряжение возникает в наиболее тонком месте.

Рис. 7.30. Площадь, ограниченная средней линией контура

Рис. 7.31. Два сечения стержня замкнутого профиля

Пример. Рассмотрим сначала определение напряжений в тонкостенной круглой трубе для сопоставления приближенного и точного решения (рис. 7.31).

По формуле (118) находим величину касательного напряжения

где - толщина трубы, — средний диаметр.

Из точного решения для полого вала (разд. 1) получаем следующее значение для максимального напряжения при кручении:

Учитывая соотношения

и полагая находим, что равенства (119) и (120) совпадают.

Для трубы прямоугольного сечения с толщиной стенки (рис. 7.31) касательное напряжение при кручении

Замечания 1. Приближенное решение для кручения трубчатых стержней достаточно точно описывает распределение напряжений на основе гипотезы равномерного распределения по толщине.

Деформационная картина оказывается сложнее, так как при кручении некруглой трубы возникает депланация (перемещение вдоль оси грубы). В связи с этим вопрос об угле закручивания рассмотрим после того, как познакомимся с энергетическими методами.

2. При кручении тонкостенных труб может возникнуть потеря устойчивости (образование складок по винтовым линиям). Это обстоятельство надо иметь в виду в практических расчетах.