Главные напряжения при плоском напряженном состоянии.

Главные напряжения могут быть определены из уравнения (17) при

Учитывая равенства

и соотношение (20), получим после нескольких громоздких, но простых выкладок выражение

Последнее равенство дает два значения главных напряжении:

Третье главное напряжение при плоском напряженном состоянии

Так как корень в равенствах (26) и (27) имеет арифметическое (положительное) значение, то (в алгебраическом смысле с учетом знака напряжения).

Приведем теперь другой способ нахождения главных напряжений, который будет использоваться в дальнейшем и для объемного (неплоского) напряженного состояния.

Рассмотрим равновесие элементарной треугольной призмы (рис. 2.19), одной из граней которой является главная площадка. На главной площадке действует нормальное напряжение касательное напряжение отсутствует.

Рис. 2.19. Определение главных напряжений из равновесия элементарной треугольной призмы» одной из граней которой является главная площадка

Нормаль к главной площадке составляет с осями х, у углы соответственно . Косинусы углов нормали (они называются направляющими косинусами) обозначаются :

Площадь косой площадки равна площади прямых площадок составляют

Проектируя все силы на направления осей х и у, найдем

Из уравнений (31) получаем однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных величин и :

(32)

При любом значении (оно заранее тоже неизвестно) система (32) не может иметь нулевых решений относительно , так как

По известной теореме линейной алгебры детерминант системы (32)

Записав уравнение (33) в виде

находим два корня уравнения, выражаемые равенствами (26) и (27).

Уравнения (32) позволяют достаточно просто указать расположение площадок, в которых действуют напряжения

Для того чтобы найти направляющие косинусы нормали площадки, в которой действует напряжение достаточно внести значение , в любое из двух уравнений (32), например в первое. Тогда получим

Аналогично для напряжения

В последних соотношениях углы с осью площадок, где действуют напряжения соответственно. Величины и определяются равенствами (26) и (27).

Если направления линий, соответствующих углам взаимно перпендикулярны, то

Учитывая зависимости (35), (36), (26) и (27), находим

что доказывает взаимную перпендикулярность главных площадок.

Замечания. 1. Были найдены значения главных напряжений, но не было указано, какое именно главное направление соответствует большему напряжению и какое — меньшему . Это будет сделано чуть позже.

2. Были даны два различных вывода главных напряжений и два доказательства ортогональности главных напряжений.

Различные параллельные способы вывода характерны для технического анализа, в котором прежде всего необходима достоверность. Никогда не следует жалеть времени на то, чтобы получить дополнительное подтверждение результата!

Разберем вопрос о наибольших нормальных напряжениях в рассматриваемых площадках. Нормальное напряжение, как следует из формулы (17), зависит от угла наклона площадки а. Для отыскания максимума или минимума функции приравняем нулю производную;

Теперь получим значение угла, при котором достигается экстремум (максимум или минимум функции).

Из равенства (39) находим

Сопоставляя формулу (40) с формулой (20), заключаем: нормальные напряжения достигают наибольшего или наименьшего значения в главных площадках.

Для различения максимума или минимума функции составим выражение второй производной:

Последнее равенство представим так:

Условие существования максимума

реализуется в двух случаях:

В первом случае нормаль к площадке, где действует напряжение составляет с осью х угол или . Во втором случае угол лежит в пределах . В перпендикулярной главной площадке напряжение равно