Вариационное уравнение метода конечных элементов.

Применяя начало возможных перемещений для всего тела, запишем

где V и S — объем и поверхность тела.

Векторы объемной и поверхностной нагрузки

Интеграл по всему объему равен сумме интегралов по объемам элементов.

где — число элементов.

Последний интеграл распространяется только на участки поверхности элементов, принадлежащие внешней поверхности тела . Из равенства (28) вытекает

и для транспонированного вектора

С помощью соотношения (22) находим

и далее

Учитывая соотношения (43), (45) и (35), запишем уравнение (41) в таком виде:

Уравнение (46) представляет вариационное уравнение метода конечных элементов для плоской задачи.

Матрица жесткости элемента.

В основном вариационном уравнении (46) элемент представлен матрицей жесткости

Отметим, что при транспонировании матрицы числа строк и столбцов меняются местами.

В развернутой форме получим

где квадратные подматрицы — блоки элемента (индекс n для краткости опускается):

Матрица содержит компоненты усилий в узле при единичных смещениях узла при условии, что остальные узлы смещений не имеют.

Узловые нагрузки.

В уравнении (46) внешние воздействия приводятся к эквивалентным нагрузкам, приложенным к узлам элемента. Если элемент примыкает к внешней поверхности тела то распределенная нагрузка дает следующий вектор статически эквивалентных узловых усилий:

Для внутренних границ элементов . Вклад массовых сил и температурных воздействий в узловые усилия составляет

Отметим, что узловые нагрузки не зависят от искомых смещений и могут считаться заданными.

Разрешающая система линейных алгебраических уравнений метода конечных элементов (МКЭ).

Уравнение (46) представим в следующей записи:

где суммарный вектор узловых усилий равен

Рассмотрим в качестве простейшего примера плоское тело, разбитое на два конечных элемента (рис. 17.5).

Рис. 17.5. Формирование матрицы жесткости для двух элементов

Для указанного тела уравнение (53) в развернутой форме будет таким:

В уравнении (55) вектор содержит компоненты смещения

узла .

Теперь запишем уравнение (55) в другой форме, суммируя все члены, содержащие вариацию смещения данного узла:

Вариации смещения узлов могут быть совершенно произвольными, и равенство (56) возможно только в том случае, когда выражения при вариациях обращаются в нули. Отсюда получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых смещений:

где — вектор усилий, действующий на узел i со стороны всех примыкающих к узлу элементов. Например,

Уравнения (57) представим в матричной форме:

где векторы узловых смещений и усилий равны

где N — общее число узлов.

Записанное в общей форме уравнение (58) является основным разрешающим уравнением метода конечных элементов. Матрица называется матрицей жесткости конструкции.

Матрица является квадратной матрицей , элементы которой квадратные матрицы. Каждая строчка матрицы соответствует узлу и содержит кроме смещения соответствующего узла еще и смещения других узлов элементов, примыкающих к данному узлу.

Строчка матрицы для плоской задачи содержит два линейных уравнения относительно компонентов смещений.

В общем случае можно записать для строчки основного уравнения (58) следующее выражение, вытекающее из уравнения

Символ означает, что в уравнение входят только элементы, примыкающие к i-му узлу; матрица содержит только одну строчку матрицы относящуюся к узлу с номером i. Например, для второго уравнения (57) получим из равенства (60) при :

что совпадает со вторым уравнением (57).

Замечания. 1. Основная система уравнений метода конечных элементов (58) обладает положительно определенной симметричной матрицей лепточной структуры. Для численного решения часто используется метод блочного исключения Гаусса, метод Холецкого и др.

2. Описанный вариант метода является простейшим. Применяются более сложные элементы с большим числом узлов и обобщенных узловых смещений. В качестве конечного элемента можно использовать участки пластинок, оболочек и т. п.