Наибольшие касательные напряжения.

Выясним вопрос о максимальных касательных напряжениях в косых площадках. С помощью зависимости (19) находим

Приравнивая нулю производную, получаем

где - угол нормали к площадке с осью х.

Внося зависимость (43) в равенство (19) и учитывая формулы (24), приходим к следующей величине экстремальных касательных напряжений:

Максимальное и минимальное значения касательного напряжения равны по величине и различаются только знаком, что, как указывалось ранее, несущественно для обычных конструкционных материалов.

Вспоминая формулы (26) и (27) для главных напряжений, находим

Максимальная величина касательных напряжений равна абсолютному значению полуразности главных напряжений.

Подобно проведенному анализу для главных напряжений, можно установить, что площадки с наибольшими (по абсолютной величиве) касательными напряжениями взаимно перпендикулярны. Такой вывод следует также из свойства парности касательных напряжений: Как же расположены площадки с максимальными касательными напряжениями по отношению к главным площадкам?

Сопоставляя равенства (20) и (43), находим

Из этого условия следует, что стороны углов взаимно перпендикулярны: и потому .

Плоскость площадок с наибольшими (максимальными) касательными напряжениями делит пополам прямой угол между плоскостями главных площадок. Этот вывод оказывается справедливым и для любого (не только плоского) напряженного состояния.

Рис. 2.20. Главные направления и и площадки с максимальными касательными напряжениями

На рис. 2.20 показаны главные направления которые можно рассматривать как оси координат, повернутые на угол к основной системе координат.

По граням элементарного параллелепипеда, построенного на осях будут действовать только нормальные напряжения .

Рассмотрим теперь напряжения в площадке, составляющей угол с главными осями (рис. 2.20, б). В этой площадке должны действовать максимальные касательные напряжения. Из условия равновесия треугольной призмы аналогично выводам уравнений (27) и (19) находим

Равенство (48) подтверждает сделанный ранее вывод о величине максимального касательного напряжения. Примечательно, что в площадках, где действует имеются и нормальные напряжения.