Устойчивость стержней в условиях продолжающегося нагружения в пластической области.

Наиболее неблагоприятный случай для устойчивости — потеря устойчивости при таком возрастании нагрузки, когда, несмотря на изгиб, напряжения сжатия возрастают во всех точках сечения (рис. 12.43). Тогда в условиях пластической области

(227)

Для материалов с линейным упрочнением (Ек = const) можно считать при анализе дополнительного изгиба, что материал имеет «модуль упругости» . Выражение для критической нагрузки будет таким:

Эта формула, полученная Энгессером — Шенли, совпадает с формулой Эйлера, где модуль упругости Е заменяется на касательный модуль .

В другой форме

Формулы (228) и (229) справедливы при условии

(230)

Если

то принимается

Таким образом, в упругопластической области

Значение принимается наибольшим из двух указанных формулой (232) при условии, что любое из выбранных значений меньше критического напряжения по формуле Эйлера.

Замечание. Любопытна история вывода формулы Энгессера — Шенли. Работы Эйлера по устойчивости стержней были выполнены еще в 1744 г. и долгое время не находили практического применения. К ним обратились во второй половине XIX века, когда началось возведение железных конструкций особенно железнодорожных мостов. Тогда выяснилось, что для коротких стержней формула Эйлера дает завышенные и, следовательно, опасные для практики значения напряжений. Причина явления — работа стержня в неупругой области — была установлена русским инженером Ф. С. Ясинским. Вскоре была опубликована первая статья Энгессера (1889 г.), в которой была предложена формула (228). Эта работа подвергалась критике, так как не принималось во внимание явление разгрузки. Задача устойчивости стержня с учетом разгрузки была решена Карманом. Энгессер признал правильными критические замечания и отказался от формулы (228). В 1947 г. Шенли вновь вернулся к ней, считая ее справедливой в условиях продолжающегося нагружения.

Следует отметить, что в упругопластической области в отличие от упругой задача становится физически нелинейной и прогиб стержня не может быть неопределенной величиной, как в задачах о собственных значениях.

Формула Энгессера — Шенли справедлива как нижняя граница начала выпучивания (изгиба) стержня, но не описывает его дальнейшее поведение.

Обобщенные кривые устойчивости

связывают значения критического напряжения и гибкости в упругой и упругопластической областях. Параллельно кривой строится кривая деформирования . На рис. 12.44 дана схематизированная кривая деформирования с линейным упрочнением. При справедлива гипербола Эйлера (зависимость между и гиперболического типа)

При напряжениях используется гипербола Энгессера — Шенли

Значение соответствует горизонтальному участку кривой изменения .

Рис. 12.44. Обобщенные кривые устойчивости