Обоснование гипотезы плоских сечений.

Пусть имеется стержень постоянного сечения с постоянными силовыми факторами по длине (рис. 8.10).

Предполагается, что температура материала стержня одинакова по всей длине, но может быть различной в точках поперечного сечения. Если внешние факторы нагружения постоянны по длине стержня, то, за исключением концевых областей, напряжения и деформации не будут зависеть от координаты z.

В этом случае в уравнениях совместности деформаций (разд. 11) производные по z обращаются в нуль, и тогда

Из последних соотношений при

следует

где — постоянные величины.

Условие (30) совпадает с равенством (2) и выражает гипотезу плоских сечений.

Рис. 8.10. Стержень с постоянными силовыми факторами по длине

Замечание. В основе доказательства гипотезы плоских сечений лежит предположение о постоянстве силовых факторов по длине стержня. Это справедливо, когда стержень загружен по торцам изгибающими моментами и осевыми усилиями, но не соблюдается при наличии поперечной нагрузки. При изгибе от поперечной нагрузки для стержней переменного сечения расчет по гипотезе плоских сечений является приближенным методом.

Часто в инженерных расчетах решения, строго доказанные при определенных ограничениях, успешно используются за пределами таких ограничений, если, разумеется, возникающие погрешности оказываются второстепенными.