Условия экстремума функционала, уравнение Эйлера — Пуассона, метод Рэлея — Ритца.
Поставим задачу — отыскать функцию 
, для которой первая вариация функционала обращается в нуль:
Функция f(x) в этом случае называется экстремалью, а значение 
— экстремумом функционала.
Равенство (58) не дает сразу ответа для поставленной задачи, так как подынтегральные члены разнородны. Преборазуем правую часть уравнения (58) с помощью интегрирования по частям. Предварительно отметим
Подобные преобразования дают
(61)
Повторяя интегрирование по частям в последнем члене равенства (61), находим
Теперь условие (59) можно записать так:
Равенство (63) должно быть справедливым для произвольной вариации 
. В частности, если рассматривать вариации 
обращающиеся в нуль на концах интервала, а в промежуточных точках произвольные, то интеграл будет равен нулю только при условии
Это и есть дифференциальное уравнение Эйлера — Пуассона для функции 
. Опять же в силу произвольности вариации 
должны выполняться краевые условия
Итак, для решения вариационного уравнения (59) следует найти решение уравнения (64) при краевых условиях (65) и (66).
Построение точных решений дифференциальных уравнений часто оказывается затруднительным, и для решения уравнения (59) применяют приближенные методы, в частности метод Рэлея — Ритца.
Метод Рэлея — Ритца состоит в следующем. Допустим, что функция f(x) может быть представлена рядом
где 
- заранее выбранные функции, удовлетворяющие наложенным на систему связям; с — коэффициенты, подлежащие определению.
Соответственно
Внося значения 
в равенство (59) и проведя интегрирование, находим
Вариация функционала теперь определяется так:
Учитывая условия (59) и считая вариации совершенно произвольными, получаем 
уравнений
из которых определяем 
неизвестных: 
Примеры использования уравнения Эйлера — Пуассона и метода Рэлея — Ритца будут приведены в дальнейшем.
Точное решение вариационного уравнения
должно обеспечивать его выполнение при произвольных вариациях 
разумеется, согласованных со связями системы. В методе Рэлея—Ритца вариация.
Класс вариаций функций ограничен выбором и числом функций, что означает наложение дополнительных связей на систему, повышающих ее «жесткость».
Очевидно, если система функций обладает достаточной полнотой, приближенное решение будет ближе к точному.
