Общая форма закона упругости.

Уравнения упругости для линейных и угловых деформаций с учетом температурных деформаций получаются из соотношений (7), (10) и (19).

Для произвольной ортогональной системы координат

Уравнения (20) выражают общую форму закона упругости (закона Гука). Они содержат два независимых параметра упругости, в качестве которых обычно принимают модуль упругости Е и коэффициент Пуассона

Уравнения упругости можно записать в более краткой форме:

Символ (х, у, z) означает, что недостающие уравнения выписываются по правилу круговой перестановки индексов.

Частный случай закона упругости — соотношение упругости для объемной деформации.

Рассмотрим элемент тела (рис. 5.5), который до деформации имел объем

В результате деформации ребра элемента достигли размеров и, следовательно, объемная деформация равна

Деформации сдвига не изменяют объема тела и потому не влияют на величину объемной деформации. Пренебрегая квадратами деформаций как малыми величинами, получим

где величина называется средней деформацией.

Складывая три первых равенства закона Гука (уравнения (20)), находим (проверьте!)

где величина называется средним (или гидростатическим) напряжением.

Замечание. Название «гидростатическое напряжение» связано со следующими обстоятельствами. Для идеальной жидкости где давление в жидкости . Для вязкой жидкости величина о рассматривается как среднее давление в точке.

Рис. 5.5. Изменение объема элемента при упругих деформациях