6. Объемное напряженное состояние

Определения. Ранее указывалось, что в любой точке нагружаемого тела существуют три главные площадки, в которых действуют главные (нормальные) напряжения, а касательные напряжения отсутствуют.

Если все три главных напряжения отличны от нуля, то напряженное состояние в точке называется объемным или трехмерным. При условии равенства нулю одного из главных напряжений напряженное состояние считается плоским или двумерным.

Наконец, при отличии от нуля только одного главного напряжения напряженное состояние будет линейным или одномерным.

Для анализа объемного напряженного состояния необходимо рассмотреть площадки произвольной ориентации, проходящие через данную точку тела.

Произвольная наклонная площадка.

Ранее при исследовании напряжений в наклонных (косых) площадках рассматривались площадки определенного вида — нормаль к ним лежала в плоскости х, у. Для плоского напряженного состояния этого было почти достаточно, но в общем случае требуется знание напряжений в произвольной наклонной площадке, заданной в выбранной системе координат.

Рассмотрим теперь элементарный четырехгранник (тетраэдр), построенный на осях прямоугольной системы координат с центром в точке А (рис. 2.21).

Произвольная косая площадка BCD характеризуется единичным вектором нормали v. Составляющие вектора по осям х, у и z равны :

По физическому смыслу величины являются косинусами углов вектора нормали v с осями координат:

Величины часто называются направляющими косинусами.

Если обозначить площадь наклонной грани то площадь грани

Для граней ABC и

Подобные соотношения в частном случае использовались ранее (уравнения (30)), а сейчас установим их с помощью наглядных физических представлений.

Из повседневного опыта ясно, что если поместить в жидкость тетраэдр из материала с тем же удельным весом, то он будет находиться в равновесии при любом давлении столба жидкости.

Так как размеры тетраэдра бесконечно малы, можно считать, что давление по веем его граням одинаково (рис 2.22).

Проектируя все силы на направление х, находим

Рис. 2.21. Произвольная косая площадка

Рис. 2.22. Частный случай равновесия тетраэдра; по всем граням действует одинаковое давление

Аналогично по другим осям

Конечно, последние соотношения можно было установить из чисто геометрических соображений, но проведенный анализ дает дополнительную информацию.

Если по трем взаимно перпендикулярным площадкам действуют одинаковые нормальные напряжения, а касательные напряжения отсутствуют, то в любой наклонной площадке действует то же нормальное напряжение и так же отсутствует касательное напряжение. Это пример, когда главных площадок оказывается бесконечно много.