Главные моменты инерции сечения.

Осевые моменты инерции относительно главных осей х, у называются главными моментами инерции.

Если ось х составляет угол с осью то осевой момент инерции

Из последнего соотношения получаем

Так как

то зависимость (54) представим в виде

Равенство (55) справедливо для любой оси составляющей угол с осью .

Рис. 8.16. Положение главных осей х, у относительно вспомогательных

Рис. 8.17. Симметричное сечение (ось симметрии всегда является одной из главных осей сечения)

Для главной оси и в силу условия (51) можно написать

Учитывая тождество

Справедливое при условии (53), и формулу (51), находим для главной оси х

Ось х составляет с осью угол причем

Величина представляет один из главных моментов инерции сечения. Второй главный момент соответствует осевому моменту инерции относительно оси у. При повороте осей координат на угол

Если то для главного момента инерции получим равентство, аналогичное (56):

или

Формулы (57) и (60) дают значения осевых моментов инерции относительно главных осей х, у (главные моменты инерции сечения).

Свойство экстремальности главных моментов инерции.

Осевой момент относительно оси, повернутой на произвольный угол» определяется равенством (55). Найдем значение угла а, при котором получает экстремальное (наибольшее или наименьшее) значение. Для этого приравняем нулю производную:

что дает для угла

Так как значения совпадают, то, следовательно, момент инерции относительно главной оси обладает свойством экстремальности — он или наименьший, или наибольший для осей, проходящих через начало координат.

Сумма моментов инерции относительно любых двух взаимно перпендикулярных осей с общим началом постоянна:

Следовательно, если имеет минимальное значение, то — максимальное, и наоборот. При значение по формуле (58) соответствует минимальному значению. Из среднего значения вычитается положительная величина. При получим из равенства (58)

При момент относительно оси будет иметь максимальное значение

Последнее соотношение вытекает из (58), если учесть, что при

Замечания. 1. В обоих случаях расчет, разумеется, можно вести по формуле (58) без дополнительных преобразований, но равенства (63) и (64) обладают большей наглядностью.

Рис. 8.18. Положения главных осей сечения относительно вспомогательной системы координат

Как уже отмечалось, при имеем и при будет . Положение главных осей х, у при различной ориентации сечения стержня относительно вспомогательной системы координат показано на рис. 8.18.

2. Ось с минимальным моментом инерции (рис. 8.19) направлена так, чтобы среднеквадратичное отклонение элементов площади относительно оси было бы минимальным . Так как для всех осей , то .

Моменты инерции относительно произвольных осей, выраженные через главные моменты.

Будем характеризовать произвольную (центральную) систему координат углом который она образует с главной системой координат х, у.

Рис. 8.19. Ось х — ось, с минимальным моментом инерции . Ось расположена так, что дает минимум среднеквадратичного отклонения элементов площади от оси

В связи q этим изменим обозначения и будем теперь считать, что оси повернуты на угол . Тогда после простого изменения обозначений получим из равенств (50), (54), (60)

(66)

Из последних соотношений вытекают интересные выводы. Если главные моменты инерции равны ), то все оси сечения вляются главными, так как для любого значения .

Рис. 8.20. Сечения, имеющие одинаковые главные моменты. Для них любые центральные оси являются главными, а все осевые моменты инерции одинаковы

При одинаковых глазных моментах инерции моменты инерции относительно любой центральной оси имеют одинаковые значения. На рис. 8.20 показаны некоторые сечения с одинаковыми главными моментами.

Расчет геометрических характеристик сечения.

Для простейших сечений стержня геометрические характеристики показаны на рис. 8.21.

Для расчета сложных сечений полезными являются соотношения между моментами инерции для параллельных осей (рис. 8.22) (оси являются центральными):

Момент инерции полых сечений (рис. 8.23) можно рассматривать как разность

где — площади, ограниченные наружным и внутренним контурами

Рис. 8.21. Моменты инерции простейших сечений: а — прямоугольник, ; б — круг, ; в — треугольник,

Рис. 8.22. Соотношение между моментами инерции для параллельных осей, оси — центральные

Рис. 8.23. Момент инерции полых (неодносвязных) сечений

Для сложных сечений геометрические характеристики находят с помощью численного расчета на ЭВМ. Координаты профиля задаются во вспомогательной системе координат в виде значений (рис. 8.24) ординат .

Площадь сечения

координаты центра тяжести находятся по формуле (40):

Момепты инерции относительно осей могут быть вычислены по следующим формулам:

При выводе равенств (75) использовались соотношения для элементарного прямоугольника с размерами . Моменты относительно осей определяются формулами (69), (70), угол — равенством (51).

Рис. 8.24. Численный расчет геометрических сечений (х, у — главные центральные оси)

Главные моменты инерции находятся с помощью зависимостей (58) и (62). Для дополнительной проверки могут использоваться формулы для

Для расчета напряжений изгиба необходимо знать координаты точек профиля в главной системе координат. С помощью соотношений (48) и (49) находим

где координаты точек заданы (см. рис. 8.24).