Удельная потенциальная энергия деформации.

Рассмотрим теперь общий случай определения потенциальной энергии деформации произвольно нагруженного упругого тела. Сначала будем считать, что на элемент тела действуют только нормальные напряжения (рис. 9.3). По граням элемента приложены напряжения . Изменения этих величин, вызванные приращением координат в пределах элемента, можно не учитывать, так как соблюдаются уравнения равновесия.

Работа внутренних сил упругости в результате деформации будет такой:

где .

Потенциальная энергия деформации равна

а удельная потенциальная энергия деформации —

В частном случае одпооспого растяжения получаются прежние зависимостн.

Перейдем к определению удельной потенциальной энергии при деформациях сдвига. На рис. 9.4 изображен элемент тела, испытывающий дефомацию сдвига в плоскости ху.

Рис. 9.3. Определение потенциальной энергии деформации при трехосном растяжении (сжатии)

Рис. 9.4. Определение на тенциальной энергии деформации при сдвиге

Первоначально прямой угол между осями х и у после деформации изменяется на величину

Работа внутренних сил упругости, характеризующихся касательными усилиями на гранях элемента, можег быть выражена таким образом:

Множитель 1/2, как и раньше, связан со статическим приложением усилий от нуля до максимальной величины к упругому телу. Вследствие свойства парности касательных напряжений

и с помощью соотношения (12) находим

Удельная потенциальная энергия, деформации при сдвиге в плоскости ху равна

Существенно, что удлинение ребер элемента не влияет на энергию: деформации сдвига, гак как касательные напряжения не производят работы при деформациях . Соотношения, подобные (13), справедливы при сдвиге в других плоскостях.

Объединяя результаты для растяжения и сдвига, получим общую формулу для удельной потенциальной энергии деформации:

В более кратком виде формулу (14) можно записать так:

где — векторы напряжений и деформаций; т — знак транспонирования.

Другие формулы, для удельной потенциальной энергии деформации получаются из основной зависимости (14) при учете соотношений упругости (разд. 18).

Если не принимать во внимание температурную деформацию, то для изотропного тела,

Внося соотношения (16) в формулы (14), получим после несложных преобразований

При выводе была учтена зависимость между модулем упругости Е и модулем сдвига

Формулу (17) можно записать в более кратком виде, если представить соотношения упругости в матричной форме (разд. 18):

Тогда получим следующий результат:

Последняя зависимость справедлива и для анизотропного тела, что отражается только в структуре матрицы.

Представим теперь удельную потенциальную энергию деформации как квадратичную функцию деформаций.

Для изотропного упругого тела, пренебрегая температурными деформациями, будем иметь (разд. 18)

где — средняя деформация.

Из соотношения (14) получаем

или в другой форме

Дадим матричную запись уравнений (21) и (22). Так как

где — матрица коэффициентов жесткости, то из соотношения (15) получаем

Последнее равенство справедливо и для анизотропного тела, если соответствующим образом выбрать матрицу коэффициентов жесткости.

Отметим еще две группы соотношений, представляющие интерес в теоретическом плане. Они получаются непосредственным дифференцированием равенств (17) и (22):