Дифференциальные уравнения равновесия элемента тела.

Рассмотрим равновесие элемента тела, примыкающего к точке (рис. 2.30); размеры ребер На гранях элемента, содержащих точку А, напряжения имеют следующие значения:

На рис. 2.30 показаны или обозначены не все напряжения, чтобы излишне не загромождать чертеж. На других гранях будем иметь:

Рис. 2.30. Условия равновесия элемента тела

Приращение напряжений по отношению к другой параллельной грани связано с приращением одной из координат. Кроме напряжений на гранях элемента, на него действует массовая сила, компоненты которой обычно обозначают .

Составим суммы проекций всех сил на оси координат. Удобно сразу рассматривать две параллельные грани, так как напряжения на них направлены в разные стороны. Рассмотрим проекцию сил на ось х. На гранях ADEF и BCHG составляющие по оси х имеют только нормальные напряжения:

Среди сил, действующих по граням ADCB и FEHG, проекцию на ось х дают касательные напряжения

Силы на гранях ABGF и DCHE составляют проекцию на ось х

Сумма проекций всех сил с учетом массовой силы дает следующее условие:

и аналогично для других осей:

Уравнения (94) — (96) представляют собой три дифференциальных уравнения равновесия элемента тела в прямоугольных (декартовых) координатах.

Из механики известно, что в общем случае для любого тела, находящегося в равновесии, должны выполняться шесть условий равновесия (три — относительно составляющих усилия и три — для составляющих момента). Три условия для моментов были рассмотрены ранее, и они не изменяются при учете приращения напряжений по граням элемента. Эти три условия представляют свойства парности касательных напряжений

Пример. Покажем, что для случая плоского напряженного состояния, когда

И массовые силы отсутствуют условия равновесия будут удовлетворены, если положить

— произвольная непрерывная функция координат. Действительно, надо позаботиться только об условиях (94) и (95), так как уравнение (96) удовлетворяется в силу равенства (98). Подстановка соотношений (90) в уравнения (94) и (95) приводит к тождествам

так как частные производные непрерывных функций не зависят от порядка дифференцирования.

Замечание. Не следует думать, что равенства (99) дают полное решение плоской задачи. Используя соотношения (99), удается удовлетворить только уравнения равновесия, однако, как будет ясно из дальнейшего, для полного решения задачи функция должна еще удовлетворить условия совместности деформаций всех элементов.

Дифференциальное уравнение равновесия элемента в тензорной форме.

Вспоминая тензорные обозначения и учитывая свойство парности касательных напряжений можно записать уравнения равновесия в следующем виде:

Числовая индексация осей позволяет применить приемы сокращенной записи. Три уравнения (101) запишем в виде

В уравнении (102) запятая в индексе означает дифференцирование по координате, указываемой следующим за запятой индексом. Далее в тензорной записи используется правило Эйнштейна: по двум одинаковым индексам проводится суммирование от 1 до 3, В уравнении (102) такое суммирование проводится по индексу Давая индексу i значения 1, 2, 3, получаем каждый раз одно из уравнений (101).