Критическая частота вращения вала переменного сечения с непрерывно распределенными массами.

Роторы осевых компрессоров, паровых турбин часто могут быть представлены динамической моделью в виде стержня переменного сечения с непрерывным распределением масс. Будем пренебрегать гироскопическим эффектом дисков, ограничиваясь нижней оценкой критической частоты вращения.

Отдельные диски также могут быть заменены в пределах участка распределенной массой. В изогнутом положении на вал действует распределенная нагрузка (рис. 12.23)

где — масса, приходящаяся на единицу длины вала. Перерезывающая сила в сечении z равна

Учитывая, что

находим

Из условия

следует

Подставляя значение в равенство (146), получаем

Выражение (147) определяет изгибающий момент в сечении стержня (рис. 12.23) при произвольной распределенной нагрузке Учитывая равенство (144), можно записать

где оператор

Если задана величина то по формуле (149) может быть вычислено значение в каждом сечении z.

Рис. 12.23. Вал с непрерывно распределенными массами (ротор компрессора)

Будем использовать уравнение упругой линии (разд. 31)

В рассматриваемом случае а из условия находим значение что дает

Выражение (151) определяет прогиб вала при произвольном распределении изгибающего момента. Внося в равенство (151) величину из соотношения (148) получаем интегральное уравнение для критической частоты вращения

где интегральный оператор равен

Интегральное уравнение (153) может быть решенр методом последовательных приближений по схеме

В качестве исходного приближения принимается

Частота находится из равенства прогибов

Расчет проводится точно таким же методом, как и в разд. 39.