7. Дифференциальные уравнения равновесия элемента тела и краевые условия

Вводные замечания. Ранее при анализе напряженного состояния рассматривались условия равновесия элементов тела для определения напряжений в различных площадках. Изменение напряжений по граням элементов в связи с приращением координат не учитывалось.

Учет указанных изменений приводил к бесконечно малым более высокого порядка малости, т. е. был несущественным. По этой же причине исчезли из уравнений и массовые силы (силы тяжести, силы инерция и др.).

При анализе напряжений в косых площадках достаточно было считать, что на параллельных гранях основного параллелепипеда (рис. 2.27) с точностью до бесконечно малых первого порядка напряжения одинаковы. Сейчас приступаем к дальнейшим уточнениям, необходимым для анализа распределения напряжений в различных точках тела.

Рис. 2.27. К выводу дифференциального уравнения равновесия элемента в случае одноосного напряженного, состояния — растяжения вдоль оси

Уравнение равновесия элемента тела в случае одноосного растяжения.

В точке выделен элементарный параллелепипед (см. рис. 2.27) с размерами ребер .

Будем считать, что на грани, проходящей через точку А, действует нормальное напряжение а.

Так как рассматривается только растяжение (сжатие) вдоль оси то по другим граням нормальных напряжений нет, а касательные напряжения по всем координатным граням отсутствуют.

В элементарных площадках, перпендикулярных оси х, но проходящих через различные точки тела, напряжения будут в общем случае также различными, т. е.

Тогда следует заключить, что на грани, проходящей через точку B, действует нормальное напряжение

где — частная производная функции (дифференцирование ведется по переменной х; переменные у и z условно считаются постоянными величинами).

Например, если напряжение является линейной функцией координат

то

На тело действует массовая сила (на единицу массы) X (центробежная сила, сила тяжести и т. п.). Массовая сила, приложенная к элементарному объему,

(81)

где — плотность материала.

Из условия равновесия элемента получаем

или в окончательной форме

Замечание. При выводе условия равновесия напряжение о в нределах грани считалось постоянным. Можно показать, ссылаясь на бесконечно малые размеры граней, что учет изменения напряжений в различных точках грани дал бы слагаемые более высокого (четвертого) порядка малости.

Пример 1. Определить распределение растягивающих напряжений в бурильной штанге под действием собственного веса. Схема бурильной установки показана на рис. 2.28. Штанга рассматривается как стержень постоянного сечения. Распределение растягивающих напряжений по поперечному сечению предполагается постоянным. Ось х направляем вдоль оси стержня. На штангу действует усилие веса.

Если - удельный вес материала (объем материала например ), то на единицу массы приходится усилие

Из условия равновесия (83) следует выражение

Из последнего уравнения получаем .

Рис. 2.28. Расчетная схема бурильной штанги: а — общая схема; б — элемент штанги; в — эпюра распределения растягивающих напряжений по длине штанги

Произвольная постоянная С находится из краевого условия: при

Определяя С, находим

Наибольшее напряжение получается в сечении х = 0:

Из формулы (87) вытекает, что длина штанги не может быть беспредельной: она ограничивается прочностью материала на растяжение.

Если допустимое напряжение на растяжение

где — предел прочности, — запас прочности (обычно ), то

Предельная длина штанги постоянного сечения по равенству (87)

Из последней формулы вытекает, что для штанги наиболее подходящими будут материалы, обладающие высоким пределом прочности и малым удельным весом. Отношение

иногда называют удельным пределом прочности . Эта характеристика чрезвычайно важна для авиационных материалов, так как вес авиационной конструкции является одним из ее основных показателей; обычно км.

Рис. 2.29. Растяжение быстровращающегося стержня (лопатки)

Пример 2. Определить распределение растягивающих напряжений по длине вращающегося стержня. На рис, 2.29 показана расчетная схема. Направим ось у по оси вращения, ось х — по оси стержня. В точке , находящейся от оси вращения на расстоянии , на элемент материала действует центробежная сила

где — плотность материала ; - угловая скорость вращения .

Размеры поперечного сечения считаем малыми по сравнению с продольными размерами, полагая . Предполагается, что растягивающие напряжения распределены равномерно по поперечному сечению. Массовая сила от действия центробежных сил

Из условия равновесия получаем

откуда

Определяя произвольную постоянную из условия

находим распределение растягивающих напряжений:

Если радиус корневого (заделанного) сечения равен то наибольшее напряжение

где — окружная скорость на внешнем радиусе стержня; — относительный радиус корневого сечения.

Из формулы (92) видно, что окружные скорости вращающегося стержня ограничены прочностью материала. Предельная допустимая окружная скорость при малом радиусе втулки соответствует условию

откуда

В равенстве (93) g — ускорение силы тяжести ; — предел прочности, запас прочности и удельный вес. Для стали с